小明研究二次函数 （ m 为常数）性质时，得出如下结论： ① 这个函数图象的顶点始终在直线 y ＝ x － 1 上； ② 存在两个 m 的值，使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形； ③ 点 与点 在函数图象上，若 ， ，则 ； ④ 当 时， y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围为 ．其中错误结论的序号是（ ）

A ． ① B ． ② C ． ③ D ． ④

答案

B

【解析】

【分析】

根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对 4 个结论作出判断即可．

【详解】

解：二次函数 （ m 为常数）

∴ 顶点坐标为（ m ， m -1 ）

把 x = m 代入 y ＝ x － 1 ，得： y = m -1 ，

∴ 这个函数图象的顶点始终在直线 y = x -1 上

故结论 ① 正确；

② 假设存在一个 m 的值，使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形

令 y =0 ，得（ x - m ） ² + m -1=0 ，其中 m ≤1

解得： ，

∵ 顶点坐标为（ m ， m -1 ），且顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形

∴| m -1|=| m - （ m - ） |

解得： m =0 或 1 ，

当 m =1 时，二次函数 y = （ x -1 ） ² ，此时顶点为（ 1 ， 0 ），与 x 轴的交点也为（ 1 ， 0 ），不构成三角形，舍去；

∴ 存在 m =0 ，使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形

故结论 ② 错误；

③∵ x ₁ + x ₂ ＞ 2 m

∴ ＞ m

∵ 二次函数 y = （ x - m ） ² + m -1 （ m 为常数）的对称轴为直线 x = m

∴ 点 A 离对称轴的距离小于点 B 离对称轴的距离

∵ x ₁ ＜ x ₂ ，且 a =1 > 0

∴ y ₁ < y ₂

故结论 ③ 正确；

④ 当 -1 ＜ x ＜ 3 时， y 随 x 的增大而减小，且 a =1 > 0

∴ m 的取值范围为 m ≥3 ．

故结论 ④ 正确．

故选： B ．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题．