定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点 ，
，如果点
满足
，
，那么称点 M 是点 A 、 B 的 “ 双减点 ” ．
例如： ，
、当点
满足
，
，则称点
是点 A 、 B 的 “ 双减点 ” ．
(1) 写出点 ，
的 “ 双减点 ” C 的坐标；
(2) 点 ，点
，点
是点 E 、 F 的 “ 双减点 ” ．求 y 与 x 之间的函数关系式；
(3) 在（ 2 ）的条件下， y 与 x 之间的函数图象与 y 轴、 x 轴分别交于点 A 、 C 两点， B 点坐标为 ，若点 E 在平面直角坐标系内，在直线 AC 上是否存在点 F ，使以 A 、 B 、 E 、 F 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出 F 点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
(1)
(2)
(3) 存在， 点的坐标为
或
或
【解析】
【分析】
（ 1 ）设 ，根据 “ 双减点 ” 的定义求解即可；
（ 2 ）根据 “ 双减点 ” 的定义求解可得 表示的
，消元求解即可；
（ 3 ）由 y 与 x 之间的函数关系式求出 的坐标，可知
是等腰三角形，根据菱形的性质，以 A 、 B 、 E 、 F 为顶点的四边形为菱形时，有三种情况，如图所示， ①
为菱形
的边长，则
，作
于
，
于
，根据
，求出
的值，在
中，由勾股定理得
，求出
的值，进而可得
的值，证明
，有
，求出
的值，进而得到
的值，即可得到
点坐标； ②
为菱形
的对角线，则
，可得
点坐标； ③
为菱形
的对角线，则
，
是线段
的中点，进而可求
点坐标．
(1)
解：设
由题意知 ，
∴ ．
(2)
解：由题意得 ，
解得
将 代入
中得
整理得 y 与 x 之间的函数关系式为 ．
(3)
解：存在．
∵
∴ 当 时，
，
当 时，
，
在 中，由勾股定理得
∵
∴
由题意得，以 A 、 B 、 E 、 F 为顶点的四边形为菱形时，有三种情况，如图所示，
① 为菱形
的边长，则
，作
于
，
于
∵ 即
解得
在 中，由勾股定理得
∴ ，
∵
∴
∴ 即
解得 ，
∴
∴ ；
② 为菱形
的对角线，则
∴ ；
③ 为菱形
的对角线，则
∵
∴ 是线段
的中点
∴ ；
综上所述，直线 AC 上存在点 F ，使以 A 、 B 、 E 、 F 为顶点的四边形为菱形， F 点的坐标为 或
或
．
【点睛】
本题考查了新定义下点坐标的运算，一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握菱形的性质．
