如图， 是 的直径， 为 上一点（ 不与点 ， 重合）连接 ， ，过点 作 ，垂足为点 ．将 沿 翻折，点 落在点 处得 ， 交 于点 ．

（ 1 ）求证： 是 的切线；

（ 2 ）若 ， ，求阴影部分面积．

答案

（ 1 ）见解析；（ 2 ）

【解析】

【分析】

（ 1 ）连接 OC ，先证明 ∠ CDA =90° ，根据折叠的性质和圆的半径相等证明 OC AE ，从而求出 ∠ ECO =90° ，问题得证；

（ 2 ）连接 ，过点 作 于点 ，证明四边形 OCEG 为矩形，求出 ， ， ，进而求出 ， ∠ COF =30° ，分别求出矩形 OCEG 、 △ OGF 、扇形 COF 面积，即可求出阴影部分面积．

【详解】

解：（ 1 ）如图，连接 OC ，

∵ ，

∴∠ CDA =90° ，

∵ 翻折得到 ，

∴∠ EAC =∠ DAC ， ∠ E =∠ CDA =90° ，

∴∠ EAD =2∠ DAC ，

∵ OA = OC ,

∴∠ OAC =∠ OCA

∴∠ COD =2∠ OAC ，

∴∠ COD =∠ EAD ，

∴ OC AE ，

∴∠ ECO =180°-∠ E =90° ，

∴ OC ⊥ EC ，

∴ 是 的切线；

（ 2 ）如图，连接 ，过点 作 于点 ，

∵∠ E =∠ ECO =90° ，

∴ 四边形 OCEG 为矩形．

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ 于点 ， OA = OF =2 ，

∴ ， ∠ FAO =∠ AFO =30° ，

∵ OC AE ，

∴∠ COF =∠ AFO =30° ，

∴ 矩形 OCEG 面积为 ，

△ OGF 面积为 ，

扇形 COF 面积为

∴ 阴影部分面积 = 矩形 OCEG 面积 -△ OGF 面积 - 扇形 COF 面积 = ．

【点睛】

本题为圆的综合题，考查了切线的判定，垂径定理，扇形的面积等知识，综合性较强，熟练掌握相关定理并根据题意添加辅助线是解题的关键．