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九下 第二十八章 锐角三角形函数
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解直角三角形与其应用
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使用次数:190
更新时间:2021-09-11
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1.

对于平面内的点 M 和点 N ,给出如下定义:点 P 为平面内的一点,若点 P 使得 PMN 是以 M 为顶角且 M 小于 90° 的等腰三角形,则称点 P 是点 M 关于点 N 的锐角等腰点.如图 ,点 P 是点 M 关于点 N 的锐角等腰点.

在平面直角坐标系 xOy 中,点 O 是坐标原点.

1 )已知点 A (2 0) ,在点 中,是点 O 关于点 A 的锐角等腰点的是

2 )已知点 B (3 0) ,点 C 在直线 y 2 x b 上,若点 C 是点 O 关于点 B 的锐角等腰点,求实数 b 的取值范围;

3 )点 D x 轴上的动点, D ( t 0) E ( t 2 0) ,点 F ( m n ) 是以 D 为圆心, 2 为半径的圆上一个动点,且满足 n ≥0 .直线 y =﹣ 2 x 4 x 轴和 y 轴分别交于点 H K ,若线段 HK 上存在点 E 关于点 F 的锐角等腰点,请直接写出 t 的取值范围.

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题型:解答题
知识点:解直角三角形与其应用
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【答案】

1 P 2 P 4 ;( 2 ;( 3

【分析】

1 )由新定义可得点 关于点 的锐角等腰点在半圆 上,从而可得答案;

2 )如图,当直线 过点 时, 当直线 与半圆 切于点 轴交于点 轴交于点 时,求解 的值即可得到答案;

3 )由题意可得:点 关于点 的锐角等腰点在半圆 上,点 在半圆 上,点 在半圆 上,(将半圆 绕点 旋转),如图 .半圆 扫过的区域为图 中的阴影部分,再分情况构建直线与阴影部分相切,分别求解此时 的值,从而可得答案.

【详解】

解:( 1 )如图,点 关于点 的锐角等腰点在半圆 上(不包括 三点),

所以点 满足条件.

2 )如图,当直线 过点 时,

当直线 与半圆 切于点 轴交于点 轴交于点 时,

所以点 C 是点 O 关于点 B 的锐角等腰点时,实数 b 的取值范围为

3 )由题意可得:点 关于点 的锐角等腰点在半圆 上,

在半圆 上,点 在半圆 上,(将半圆 绕点 旋转),如图

半圆 扫过的区域为图 中的阴影部分,

如图 ,阴影部分与 切于点

同理可得:

如图 ,阴影部分与 切于点

t 的取值范围为:

【点睛】

本题考查的是新定义情境下的函数与几何的综合应用,考查了锐角三角函数的应用,切线的性质定理,弄懂题意构建符合题意的图形是解题的关键.

=
考点梳理:
根据可圈可点权威老师分析,试题“ ”主要考查你对 直角三角形的性质及判定 等考点的理解。关于这些考点的“资料梳理”如下:
◎ 直角三角形的性质及判定的定义
直角三角形定义:
有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示,如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
◎ 直角三角形的性质及判定的知识扩展
1、定义:有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示,如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
2、判定:(1)定义,有一个角为90°的三角形是直角三角形。
(2)判定定理:如果三角形的三边a,b,c满足,那么这个三角形就是直角三角形。
(3)一个三角形,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。
(4)两个锐角互余的三角形是直角三角形。
(5)若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
3、性质:(1)直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即
(2)在直角三角形中,两个锐角互余。
(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。
(4)直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
(5)在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
◎ 直角三角形的性质及判定的特性

直角三角形性质:
直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质:
性质1:直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方。即。如图,∠BAC=90°,则AB2+AC2=BC2(勾股定理)
性质2:在直角三角形中,两个锐角互余。如图,若∠BAC=90°,则∠B+∠C=90°
性质3:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R=C/2)。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:

如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:
(1)(AD)2=BD·DC。
(2)(AB)2=BD·BC。
(3)(AC)2=CD·BC。
性质6:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°。
性质7:如图,1/AB2+1/AC2=1/AD2
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
性质9:直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

◎ 直角三角形的性质及判定的知识点拨

直角三角形的判定方法:
判定1:定义,有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2:判定定理:以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a,b,c满足,那么这个三角形就是直角三角形。(勾股定理的逆定理)。
判定3:若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4:两个锐角互为余角(两角相加等于90°)的三角形是直角三角形。
判定5:若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数,则两直线互相垂直。那么
判定6:若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半,那么这个三角形为直角三角形。
判定7:一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半,则这个三角形为直角三角形。(与判定3不同,此定理用于已知斜边的三角形。)

◎ 直角三角形的性质及判定的教学目标
1、进一步掌握直角三角形的性质----直角三角形中,30度的角所对的边等于斜边的一半;
2、能利用直角三角形的性质解决一些实际问题;
3、体验探究直角三角形性质和判定的过程,培养动手、动脑的能力。
◎ 直角三角形的性质及判定的考试要求
能力要求:理解
课时要求:40
考试频率:常考
分值比重:3
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题型:填空题
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