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八下 第十七章 勾股定理
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勾股定理的逆定理
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更新时间:2021-09-11
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1.

如图,在 ABC 中, AB 3 AC 4 BC 5 .在同一平面内, ABC 内部一点 O AB AC BC 的距离都等于 a a 为常数),到点 O 的距离等于 a 的所有点组成图形 G

1 )直接写出 a 的值;

2 )连接 BO 并延长,交 AC 于点 M ,过点 M MN BC 于点 N

求证: BMA BMN

求直线 MN 与图形 G 的公共点个数.

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题型:解答题
知识点:勾股定理的逆定理
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【答案】

1 1 ;( 2 见解析; ②1

【分析】

1 )根据题意可得三角形 ABC 是直角三角形,再根据切线长定理即可求出 a 的值;

2 根据题意可得点 O 是三角形 ABC 的内心,再根据三角形内角和即可得结论;

OE MN 于点 E ,根据角平分线的性质可得 OD = OE ,所以得 OE 为圆 O 的半径,进而可得 MN 为圆 O 的切线,即可得出结论.

【详解】

解:( 1 )如图,

AB =3 AC =4 BC =5

AB 2 + AC 2 = BC 2

∴∠ A =90°

∴△ ABC 是直角三角形,

由题意可知:图形 G 是以 O 为圆心, a 为半径的圆, AB AC BC 与圆 O 相切,

设切点分别为 F D Q ,连接 OF OD OQ

OF AB OD AC OQ BC

四边形 AFOD 为正方形,

AF = AD = OF = OD = a

根据切线长定理可知: BF = BQ =3- a CD = CQ =4- a

∴3- a +4- a =5 ,解得 a =1

2 由题意可知:点 O ABC 的内心,

∴∠ ABM =∠ CBM

MA AB MB BC

∴∠ A =∠ BNM =90°

∴∠ BMA =∠ BMN

如图,作 OE MN 于点 E

∵∠ BMA =∠ BMN OD AC

OD = OE

OE 为圆 O 的半径,

MN 为圆 O 的切线,

直线 MN 与图形 G 的公共点个数为 1

【点睛】

本题考查了三角形的内切圆与内心,解决本题的关键是掌握三角形的内心定义.

=
考点梳理:
根据可圈可点权威老师分析,试题“ ”主要考查你对 勾股定理的逆定理 等考点的理解。关于这些考点的“资料梳理”如下:
◎ 勾股定理的逆定理的定义

勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形。

勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。
若c为最长边,且a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形。如果a2+b2>c2,则△ABC是锐角三角形。如果a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形。
由于余弦定理是由勾股定理推出的,故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。
勾股定理的逆定理是判定三角形是不是直角三角形的重要方法。

◎ 勾股定理的逆定理的知识扩展
如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理是判定三角形是不是直角三角形的重要方法。
◎ 勾股定理的逆定理的知识拓展
勾股定理的来源:
毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理,传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称“百牛定理”。
毕达哥拉斯在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理;三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明。法国和比利时称为驴桥定理,埃及称为埃及三角形。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,斜边叫做弦。 
常用勾股数组(3,4,5);(6,8,10);(5,12,13);(8,15,17) ;(7,24,25)
有关勾股定理书籍 :《数学原理》人民教育出版社;《探究勾股定理》同济大学出版社;《优因培教数学》北京大学出版社;《勾股书籍》新世纪出版社;《九章算术一书》《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社;《几何原本》(原著:欧几里得)人民日报出版社。

毕达哥拉斯树
毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后 的形状好似一棵树,所以被称为毕达哥拉斯树。 
直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。利用不等式A2+B2≥2AB可以证明下面的结论:三个正方形之间的三角形,其面积小于等于大正方形面积的四分之一,大于等于一个小正方形面积的二分之一。
◎ 勾股定理的逆定理的教学目标
1、掌握直角三角形的判别条件;
2、熟记一些勾股数;
3、掌握勾股定理的逆定理的探究方法;
4、通过对Rt△判别条件的研究,培养学生大胆猜想,勇于探索的创新精神。
◎ 勾股定理的逆定理的考试要求
能力要求:应用
课时要求:100
考试频率:常考
分值比重:5
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