如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y = x + 3 与函数 y = ( x > 0 )的图象交于点 A (1 , m ) ,与 x 轴交于点 B .
( 1 )求 m , k 的值;
( 2 )过动点 P (0 , n ) ( n > 0 )作平行于 x 轴的直线,交函数 y = ( x > 0 )的图象于点 C ,交直线 y = x + 3 于点 D .
① 当 n = 2 时,求线段 CD 的长;
② 若 CD ≥ OB ,结合函数的图象,直接写出 n 的取值范围.
( 1 ) m =4 , k =4 ;( 2 ) ①3 ; ②0 < n ≤2 或 .
【分析】
( 1 )先利用一次函数解析式求出 m 的值,即可得到 A 点坐标,然后将 A 点坐标代入反比例函数解析式即可求得 k 的值;
( 2 ) ① 先确定 C 点和 D 点的横坐标,然后求两横坐标之差即可解答;
② 先确定 B 点坐标为( -3 , 0 ),再根据 C 、 D 的纵坐标都为 n ,然后再根据题意确定 C 、 D 的坐标,最后分点 C 在点 D 的右侧和点 C 在点 D 的左侧两种情况解答即可.
【详解】
解: ∵ 直线 y = x +3 经过点 A ( 1 , m ),
∴ m =1+3=4
∴ 反比例函数 y = 的图象经过点 A ( 1 , 4 ),
∴ k =1×4=4 ;
( 2 )如图: ① 当 n =2 时,点 P 的坐标为( 0 , 2 ) .
当 y =2 时, 2= ,解得 x =2 ,即点 C 的坐标为( 2 , 2 )
当 y =2 时, x +3=2 ,解得 x =-1 ,即点 D 的坐标为( -1 , 2 )
∴ CD =2- ( -1 ) =3 ;
② 如图:当 y =0 时, x +3=0 ,解得 x =-3 ,则 B ( -3 , 0 )
当 y = n 时, n = ,解得 x = ,即点 C 的坐标为( , n ) .
当 y = n 时, x +3= n ,解得 x = n -3 ,即点 D 的坐标为( n -3 , n )
当点 C 在点 D 的右侧时,
∵ CD = OB
∴ - ( n -3 ) =3 ,解得 n 1 =2 , n 2 =-2 (舍去)
∴ 当 0< n ≤2 时, CD ≥ OB ;
当点 C 在点 D 的左侧时
∵ CD = OB ,即 n -3- =3 ,解得 (舍去)
∴ 当 n ≥ 时, CD ≥ OB ;
综上所述, n 的取值范围为 0 < n ≤2 或 .
【点睛】
本题主要考查了反比例函数与一次函数图像的交点问题以及运用待定系数法求函数解析式等知识点,掌握数形结合思想成为解答本题的关键.
自变量的取值范围:
①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;
②函数y的取值范围也是任意非零实数。
反比例函数性质:
①反比例函数的表达式中,等号左边是函数值y,等号右边是关于自变量x的分式,分子是不为零的常数k,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式;
②反比例函数表达式中,常数(也叫比例系数)k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分;
③反比例函数 (k是常数,k≠0)的自变量x的取值范围是不等式0的任意实数,函数值y的取值范围也是非零实数。
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