在 中, ,将 绕点 B 顺时针旋转得到 ,其中点 A , C 的对应点分别为点 , .
( 1 )如图 1 ,当点 落在 的延长线上时,求 的长;
( 2 )如图 2 ,当点 落在 的延长线上时,连接 ,交 于点 M ,求 的长;
( 3 )如图 3 ,连接 ,直线 交 于点 D ,点 E 为 的中点,连接 .在旋转过程中, 是否存在最小值?若存在,求出 的最小值;若不存在,请说明理由.
( 1 ) ;( 2 ) ;( 3 )存在,最小值为 1
【分析】
( 1 )根据题意利用勾股定理可求出 AC 长为 4 .再根据旋转的性质可知 ,最后由等腰三角形的性质即可求出 的长.
( 2 )作 交 于点 D ,作 交 于点 E .由旋转可得 , .再由平行线的性质可知 ,即可推出 ,从而间接求出 , .由三角形面积公式可求出 .再利用勾股定理即可求出 ,进而求出 .最后利用平行线分线段成比例即可求出 的长.
( 3 )作 且交 延长线于点 P ,连接 .由题意易证明 ,
, ,即得出 .再由平行线性质可知 ,即得出 ,即可证明 ,由此即易证 ,得出 ,即点 D 为 中点.从而证明 DE 为 的中位线,即 .即要使 DE 最小, 最小即可.根据三角形三边关系可得当点 三点共线时 最小,且最小值即为 ,由此即可求出 DE 的最小值.
【详解】
( 1 )在 中, .
根据旋转性质可知 ,即 为等腰三角形.
∵ ,即 ,
∴ ,
∴ .
( 2 )如图,作 交 于点 D ,作 交 于点 E .
由旋转可得 , .
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ , .
∵ ,即 ,
∴ .
在 中, ,
∴ .
∴ .
∵ ,
∴ ,即 ,
∴ .
( 3 )如图,作 且交 延长线于点 P ,连接 .
∵ ,
∴ ,
∵ ,即 ,
又 ∵ ,
∴ .
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
∴ 在 和 中 ,
∴ ,
∴ ,即点 D 为 中点.
∵ 点 E 为 AC 中点,
∴ DE 为 的中位线,
∴ ,
即要使 DE 最小, 最小即可.
根据图可知 ,即当点 三点共线时 最小,且最小值为 .
∴ 此时 ,即 DE 最小值为 1 .
【点睛】
本题为旋转综合题.考查旋转的性质,勾股定理,等腰三角形的判定和性质,平行线的性质,平行线分线段成比例,全等三角形的判定和性质,中位线的判定和性质以及三角形三边关系,综合性强,为困难题.正确的作出辅助线为难点也是解题关键.
平行四边形的性质:
主要性质
(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)
(1)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对边分别相等。
(简述为“平行四边形的两组对边分别相等”)
(2)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对角分别相等。
(简述为“平行四边形的两组对角分别相等”)
(3)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的邻角互补
(简述为“平行四边形的邻角互补”)
(4)夹在两条平行线间的平行线段相等。
(5)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两条对角线互相平分。
(简述为“平行四边形的对角线互相平分”)
(6)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)
(7)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)
(8)过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形。
(9)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两对角线的交点.
(10)平行四边形不是轴对称图形,矩形和菱形是轴对称图形。
注:正方形,矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形,三者具有平行四边形的性质。
(11)平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点,则AC和DE互相三等分,一般地,若E为AB上靠近A的n等分点,则AC和DE互相(n+1)等分。
(12)平行四边形ABCD中,AC、BD是平行四边形ABCD的对角线,则各四边的平方和等于对角线的平方和。
(13)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
(14)平行四边形中,两条在不同对边上的高所组成的夹角,较小的角等于平行四边形中较小的角,较大的角等于平行四边形中较大的角。
(15)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高,与这个角的两边组成的夹角相等。
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