下图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象, 1 号指挥机(看成点 )始终以 的速度在离地面 高的上空匀速向右飞行, 2 号试飞机(看成点 ) 一直 保持在 1 号机 的 正下方 , 2 号机从原点 处沿 仰角爬升,到 高的 处便立刻转为水平飞行,再过 到达 处开始沿直线 降落,要求 后到达 处.
( 1 )求 的 关于 的函数解析式,并 直接 写出 2 号机的爬升速度;
( 2 )求 的 关于 的函数解析式,并预计 2 号机着陆点的坐标;
( 3 )通过计算说明两机距离 不超过 的时长是多少.
(注:( 1 )及( 2 )中不必写 的取值范围)
( 1 ) , ( km/min )( 2 ) , ( 3 ) min
【分析】
( 1 )根据图象分析得知,解析式为正比例函数,根据角度判断 k 值,即可求得.
( 2 )根据 B 、 C 两点坐标,待定系数法求表达式即可,着陆点令 , 求解即可.
( 3 )根据点 Q 的位置,观察图象,找到满足题意的范围,分类讨论计算即可.
【详解】
解:( 1 )设线段 OA 所在直线的函数解析式为 :
∵2 号机从原点 处沿 仰角爬升
∴
又 ∵1 号机飞到 A 点正上方的时候,飞行时间 ( min )
∴2 号机的飞行速度为: ( km/min )
( 2 ) 设线段 BC 所在直线的函数表达式为:
∵2 号机水平飞行时间为 1 min , 同时 1 号机的水平飞行为 1 min ,
点 B 的横坐标为: ;点 B 的纵坐标为: 4 ,即 ,
将 , 代入 中,得:
解得:
∴
令 , 解得:
∴2 号机的着陆点坐标为
( 3 )当点 Q 在 时,要保证 ,则: ;
当点 Q 在 上时, , 此时 ,满足题意 , 时长为 ( min );
当点 Q 在 上时,令 ,解得: ,此时 ( min ),
∴ 当 时,时长为: ( min )
【点睛】
本题考查变量之间的关系、待定系数法求一次函数解析式,根据实际问题,数形结合讨论是解题的关键 .
函数:一般地,在一个变化过程中,如果有两个自变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。
如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
变量:
在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量。(数学中,常常为x,而y则随x值的变化而变化),有些数值是不随变量而改变的,我们称它们为常量。
自变量:函数一个与它量有关联的变量,这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量(函数):随着自变量的变化而变化,且自变量取唯一值时,因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。
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