已知：如图 1 ，点 是直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，过点 作射线 ，使 ．如图 2 ， 绕点 以每秒 9° 的速度顺时针旋转得 ，同时射线 绕点 以每秒 3° 的速度顺时针旋转得射线 ，当射线 落在 的反向延长线上时，射线 和 同时停止，在整个运动过程中，当 ______ 时， 的某一边平分 （ 指不大于 180° 的角）．

答案

t=3 或 t=30 或 t=54

【分析】

本题分情况讨论，当 OE' 平分 ∠A'OM ，即 ∠MOE'=∠A'OE' ，用 t 的式子表示 ∠MOE' ， ∠A'OE' ，求出 t 的值，

当 ON' 平分 ∠A'OM ， ∠MON'=∠A'ON' ，此时分为两种情况，

第一种情况： ON' 没有旋转完 360° ，

第二种情况： ON' 旋转完了 360° ．用 t 的式子表示 ∠MON' ， ∠A'ON' ，分别求出 t 的值即可．

【详解】

解： ∵∠EOM= ∠EON ， ∠EOM+∠EON=180°

得： ∠EOM=30° ， ∠EON=150°

①OE' 平分 ∠A'OM ，即 ∠MOE'=∠A'OE'

∠MOE'=30+9t

∠A'OE'=60+3t-9t

∴30+9t=60+3t-9t

解得 t=3 ，

②ON' 平分 ∠A'OM ，此时分为两种情况，

第一种情况： ON' 没有旋转完 360° ，

∠MON'=∠A'ON'

∠MON'=9t-180

∠A'ON'=90+(9t-180)-3t

∴9t-180=90+(9t-180)-3t

解得 t=30 ，

第二种情况： ON' 旋转完了 360°

∠MON'=∠A'ON'

∠MON'=180-9t+360 ，

∠A'ON'=180-(3t-90)-(180-9t+360)

180-9t+360=180-(3t-90)-(180-9t+360)

解得 t=54 ，

故答案为： t=3 或 t=30 或 t=54

【点睛】

此题主要考查角的和差，角平分线的性质与一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系求解 .