已知:如图 1 ,点 是直线
上一点,过点
作射线
,使
,过点
作射线
,使
.如图 2 ,
绕点
以每秒 9° 的速度顺时针旋转得
,同时射线
绕点
以每秒 3° 的速度顺时针旋转得射线
,当射线
落在
的反向延长线上时,射线
和
同时停止,在整个运动过程中,当
______ 时,
的某一边平分
(
指不大于 180° 的角).
t=3 或 t=30 或 t=54
【分析】
本题分情况讨论,当 OE' 平分 ∠A'OM ,即 ∠MOE'=∠A'OE' ,用 t 的式子表示 ∠MOE' , ∠A'OE' ,求出 t 的值,
当 ON' 平分 ∠A'OM , ∠MON'=∠A'ON' ,此时分为两种情况,
第一种情况: ON' 没有旋转完 360° ,
第二种情况: ON' 旋转完了 360° .用 t 的式子表示 ∠MON' , ∠A'ON' ,分别求出 t 的值即可.
【详解】
解: ∵∠EOM= ∠EON , ∠EOM+∠EON=180°
得: ∠EOM=30° , ∠EON=150°
①OE' 平分 ∠A'OM ,即 ∠MOE'=∠A'OE'
∠MOE'=30+9t
∠A'OE'=60+3t-9t
∴30+9t=60+3t-9t
解得 t=3 ,
②ON' 平分 ∠A'OM ,此时分为两种情况,
第一种情况: ON' 没有旋转完 360° ,
∠MON'=∠A'ON'
∠MON'=9t-180
∠A'ON'=90+(9t-180)-3t
∴9t-180=90+(9t-180)-3t
解得 t=30 ,
第二种情况: ON' 旋转完了 360°
∠MON'=∠A'ON'
∠MON'=180-9t+360 ,
∠A'ON'=180-(3t-90)-(180-9t+360)
180-9t+360=180-(3t-90)-(180-9t+360)
解得 t=54 ,
故答案为: t=3 或 t=30 或 t=54
【点睛】
此题主要考查角的和差,角平分线的性质与一元一次方程的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系求解 .
角的基本概念:
从静态角度认识角:由一个点出发的两条射线组成的图形叫角;
从动态角度认识角:一条射线绕着它的顶点旋转到另一个位置,则这两条射线组成的图像叫角。有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。
①因为射线是向一方无限延伸的,所以角的两边无所谓长短,即角的大小与它的边长无关。
②角的大小可以度量,可以比较。
③根据角的度数,角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角。
角的表示:角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示,如∠1,∠α,∠BAD等。