（感受新知）

如图 1 ，射线 OC 在 ∠AOB 在内部，图中共有 3 个角： ∠AOB 、 ∠AOC 和 ∠BOC ，若其中一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线 OC 是 ∠AOB 的 “ 和谐线 ” ． ( 注：本题研究的角都是小于平角的角 ． )

（ 1 ）一个角的角平分线 _______ 这个角的 “ 和谐线 ” ．（填是或不是）

（ 2 ）如图 1 ， ∠AOB=60° ，射线 OC 是 ∠AOB 的 “ 和谐线 ” ，求 ∠AOC 的度数．

（运用新知）

（ 3 ）如图 2 ，若 ∠AOB ＝ 90° ，射线 OM 从射线 OA 的位置开始，绕点 O 按逆时针方向以每秒 15° 的速度旋转，同时射线 ON 从射线 OB 的位置开始，绕点 O 按顺时针方向以每秒 7.5° 的速度旋转，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，旋转的时间为 t （ s ），问：当射线 OM 、 ON 旋转到一条直线上时，求 t 的值．

（解决问题）

（ 4 ）在（ 3 ）的条件下，请直接写出当射线 ON 是 ∠BOM 的 “ 和谐线 ” 时 t 的值．

答案

（ 1 ）不是；（ 2 ） 15° ， 45° ， 20° ， 40° ；（ 3 ） 4 ， 12 ， 20 ；（ 4 ） 7.2 ， 6 ， 10.8 ，

【分析】

（ 1 ）结合 “ 和谐线 ” 和角平分线的定义，即可得到答案；

（ 2 ）分四种情况讨论，由 “ 和谐线 ” 的定义，列出方程可求 ∠AOC 的度数；

（ 3 ）根据题意，分三种情况讨论，列出方程可求 t 的值；

（ 4 ）根据题意，分四种情况进行讨论，列出方程，分别解方程，即可求出 t 的值．

【详解】

解： ∵ 一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的 2 倍，

∴ 一个角的角平分线不是这个角的 “ 和谐线 ” ；

故答案为：不是；

（ 2 ）根据题意，

∵∠AOB=60° ，射线 OC 是 ∠AOB 的 “ 和谐线 ” ，

可分为四种情况进行分析：

① 当 ∠AOB=3∠AOC=60° 时，

∴∠AOC=20° ；

② 当 ∠AOB=3∠BOC=60° 时，

∴∠BOC=20° ，

∴∠AOC=40° ；

③ 当 ∠AOC=3∠BOC 时，

∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=60° ，

∴∠AOC=45° ；

④ 当 ∠BOC=3∠AOC 时，

∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=60° ，

∴∠AOC=15° ；

（ 3 ）由题意得， ∵ （秒），

∴ 运动时间范围为： 0 ＜ t≤24 ，则有

① 当 OM 与 ON 第一次成一个平角时，

90+15t+7.5t=180 ，

解得： t=4 （秒）；

② 当 OM 与 ON 成一个周角时，

90+15t+7.5t=360 ，

解得： t=12 （秒）；

③ 当 OM 与 ON 第二次成一个平角时，

90+15t+7.5t=180+360 ，

解得： t=20 （秒）

综上， t 的值为 4 或 12 或 20 秒；

（ 4 ）当 OM 与 OB 在同一条直线上时，有

（秒），

当 OM 与 ON 成一个周角时，有 ，

∴ ；

根据 “ 和谐线 ” 的定义，可分为四种情况进行分析：

① 当 ∠MON=3∠BON 时，如图：

∵ ， ，

∴ ，

解得： ；

② 当 ∠BOM=3∠BON 时，如图：

∵ ， ，

∴ ，

解得： ；

③ 当 ∠BOM=3∠MON 时，如图：

∵ ， ，

∴ ，

解得： ；

④ 当 ∠BON=3∠MON 时，如图：

∵ ， ，

∴ ，

解得： ；

【点睛】

本题考查一元一次方程的应用，和谐线的性质，角之间的和差关系，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型