如图 1 , , , 、 分别为 和 的角平分线.
( 1 )若 ,则 _________° ;
( 2 )如图 2 , 从第( 1 )问中的位置出发,绕点 逆时针以每秒 的速度旋转;当 与 重合时, 立即反向绕点 顺时针以每秒 的速度旋转,直到 与 互为反向延长线时停止运动.整个运动过程中, 的大小不变, 旋转后的对应射线记为 , 旋转后的对应射线记为 , 的角平分线记为 , 的角平分线记为 .设运动时间为 秒.
① 当 平分 时,求出对应的 的值;
② 请问在整个运动过程中,是否存在某个时间段使得 的值不变?若存在,请直接写出这个定值及其对应的 的取值范围(包含运动的起止时间);若不存在,请说明理由.
( 1 ) ;( 2 ) ① 的值为 5 或 30 ; ② 综上存在且定值为 , .
【分析】
( 1 )根据角平分线的性质结合题意即可求出 的大小.
( 2 ) ① 分类讨论逆时针旋转和顺时针旋转两种种情况,根据角平分线的性质结合题意分别用 t 表示出 和 ,列出等量关系式求出 t 即可.
② 分类讨论逆时针旋转和顺时针旋转两种种情况,且细化分为 在 B 上方和 在 B 下方.根据角平分线的性质结合题意分别用 t 表示出 和 ,再求其差的绝对值即可.再求出每种情况的 t 的取值范围即可.
【详解】
( 1 ) ∵OM 平分 , ,
∴ .
∵ ,
∴ .
∵ON 平分 ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
( 2 ) ① 逆时针旋转时:当 在 B 上方时,
根据题意可知 , .
∴ ,
∵ 平分 ,
∴ ,即 ,
解得: .
当 在 B 下方时,此时 也在 下方,即此时不存在 平分 .
顺时针旋转时:
同理当 在 B 下方时,此时 也在 下方,即此时不存在 平分 .
当 在 B 上方时,即 与 OB 重合之后,
由题意可求 与 OB 重合用的时间 ,
∴ 与 OB 重合之后, ,
∴ .
∴ ,
∵ 平分 ,
∴ ,即 ,
解得: .
综上 的值为 5 或 30 .
② 逆时针旋转时:当 在 B 上方时,
根据 ① 可知 , , .
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ .
∴ ,此段时间 ;
当 在 B 下方时,
设经过 OB 后运动时间为 ,
同理可知, , ,
∴ .
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ .
∴ ,此段时间 ;
顺时针旋转时:当 在 B 下方时,设没到达 OB 时的时间为 ,
同理可知 , ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ .
∴ ,此段时间 .
当 在 B 上方时,
设经过 OB 后运动时间为 ,
同理可知 , ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ .
∴ ,此段时间 .
综上存在且定值为 , .
【点睛】
本题考查旋转综合题,根据角平分线的性质利用已知条件找到角的等量关系并结合分类讨论的思想是解答本题的关键.分类情况较多,本题属于难题.
角的基本概念:
从静态角度认识角:由一个点出发的两条射线组成的图形叫角;
从动态角度认识角:一条射线绕着它的顶点旋转到另一个位置,则这两条射线组成的图像叫角。有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。
①因为射线是向一方无限延伸的,所以角的两边无所谓长短,即角的大小与它的边长无关。
②角的大小可以度量,可以比较。
③根据角的度数,角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角。
角的表示:角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示,如∠1,∠α,∠BAD等。
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