已知如图 ,线段
( 1 )若 ,则 _______________ ;
( 2 )如图 , , 为 内部的一条射线, 是 四等分线,且 ,求 的值;
( 3 )如图 , ,射线 绕着 点从 开始以 度 / 秒的速度逆时针旋转一周至 结束,在旋转过程中,设运动的时间为 , 是 四等分线,且 ,当 在某个范围内 会为定值,请直接写出定值,并指出对应 的范围(本题中的角均为大于 且小于 的角).
( 1 ) 或 ;( 2 ) 80° ;( 3 )当 或 时, 为定值 80° .
【分析】
( 1 )分两种情形,当 OC 在 ∠AOB 内部时,先求得 ∠AOC ,再用 ∠AOB-∠AOC 即得 ∠BOC ;当 OC 在 ∠AOB 外部时,同样先求得 ∠AOC ,再用 ∠AOB+∠AOC 即得 ∠BOC ;
( 2 )设 ,据题意依次用 表示出 ∠COM 、 ∠NOM 、 ∠AOM ,再表示出 ∠AON ,然后用 表示出 化简即得答;
( 3 )按 ON 和 OM 的不同位置分四种情形进行讨论.记 OM 转过的角度为 ,第一种情形,当 时,用 依次表示出 ∠MOB 、 ∠COM ,据 “ 是 四等分线,且 ” 表示出 ∠AON ,最后用 表示出 化简,若结果不含 ,则 就是定值,否则不是定值;其它三种情形是: ① 当 、 ② 当 且 ON 在 ∠COA 之外、 ③ 当 且 ON 在 ∠COA 之内,也同第一种情形类似分别进行处理.
【详解】
( 1 )分两种情形:
当 OC 在 ∠AOB 内部时,如下图 1-1
∵
∴
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=40°-10°=30° ;
第二种情形,当 OC 在 ∠AOB 外部时,如下图 1-2
∵
∴
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=40°+20°=60° .
综上所述 ∠BOC=30° 或 60° .
( 2 )解:如图 2 ,
设
∵ 是 四等分线且
∠NOM=3x°
∴ ,
又
∴
∴
∴
即
( 3 )记 OM 转过的角度为 ,分四种情形讨论:
第一种情形,当 时(此时, )
如下图 3-1
由 ∠MOB= 得 ∠COM=∠COA+∠AOB-∠MOB=20°+40°- =60°- ,
∵ 是 四等分线且
∴
∴
∴ 当 时, 为定值 80° ;
第二种情形,当 时,(此时 )
如下图 3-2
由 ∠MOB= 得 ∠COM=∠MOB –(∠COA+∠AOB) = -(20°+40°)= -60°
∵ 是 四等分线且
∴
∴
∴ 当 时, 不是定值;
第三种情形,当 且 ON 在 ∠COA 外时(此时, )如下图 3-3
由 ∠MOB=360°- 得 ∠COM=∠MOB + ( ∠COA+∠AOB) =360°- +(20°+40°)=420°- ,
∵ 是 四等分线且
∴
得 ,
所以得当 时, 不为定值.
第四种情形,当 且 ON 在角 ∠COA 内或与 OA 重合时(此时 )如下图 3-4
由 ∠MOB=360°- 得 ∠COM=∠MOB + ( ∠COA+∠AOB) =360°- +(20°+40°)=420°- ,
∵ 是 四等分线且
∴∴
∴
∴ 当 时, 为定值 80° .
综上讨论得当 或 时, 为定值 80° .
【点睛】
此题考查角平分线的概念及角的和差,当 OM 绕点 O 旋转时,会引起图形质的变化分清情况进行讨论是关键.
角的基本概念:
从静态角度认识角:由一个点出发的两条射线组成的图形叫角;
从动态角度认识角:一条射线绕着它的顶点旋转到另一个位置,则这两条射线组成的图像叫角。有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。
①因为射线是向一方无限延伸的,所以角的两边无所谓长短,即角的大小与它的边长无关。
②角的大小可以度量,可以比较。
③根据角的度数,角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角。
角的表示:角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示,如∠1,∠α,∠BAD等。
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