一般地, 个相同的因数 相乘 ,记为 , 如 ,此时, 3 叫做以 2 为底 8 的对数,记为 ( 即 ) .一般地,若 且 , 则 叫做以 为底 的对数, 记为 ( 即 ) .如 , 则 4 叫做以 3 为底 81 的对数, 记为 ( 即 ) .
( 1 )计算下列各对数的值: ; ; .
( 2 )观察( 1 )中三数 4 、 16 、 64 之间满足怎样的关系式, 之间又满足怎样的关系式;
( 3 )由( 2 )的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗 ?
( 4 ) 根据幂的运算法则: 以及对数的含义说明上述结论.
( 1 ) 2 , 4 , 6 ;( 2 ) 4×16=64 , ;( 3 ) ;( 4 )见解析
【分析】
( 1 )根据对数的定义求解可得;
( 2 )观察三个数字及对应的结果,找出规律;
( 3 )将找出的规律写成一般形式;
( 4 )设 , ,利用 转化可推导.
【详解】
( 1 ) ∵ , ,
∴ 2 , 4 , 6
( 2 ) 4 、 16 、 64 的规律为: 4×16=64
∵2+4=6 , ∴
( 3 )根据( 2 )得出的规律,我们一般化,为:
( 4 )设 ,
则 ,
∴
∴
∴ ,得证
【点睛】
本题考查指数运算的逆运算,解题关键是快速学习题干告知的运算法则,找出相应规律.
代数式的性质:
(1)单独一个数或一个字母也是代数式,如-3,a.
(2)代数式中只能有运算符号,不应含有等于号(=、≡)、不等号(≠、≤、≥、<、>、≮、≯)、约等号≈,也就是说,等式或不等式不是代数式,但代数式中可以含有括号。 可以有绝对值。例如:|x|,|-2.25| 等。
(3)代数式中的字母表示的数必须使这个代数式有意义,即在实际问题中,字母表示的数要符合实际问题。
代数式的分类:
在实数范围内,代数式分为有理式和无理式。
一、有理式
有理式包括整式(除数中没有字母的有理式)和分式(除数中有字母且除数不为0的有理式)。
这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算.
整式有包括单项式(数字或字母的乘积或单独的一个数字或字母)和多项式(若干个单项式的和).
1.单项式
没有加减运算的整式叫做单项式。
单项式的系数:单项式中的数字因数叫做单项式(或字母因数)的数字系数,简称系数
单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
2.多项式
个单项式的代数和叫做多项式;多项式中每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。
多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
齐次多项式:各项次数相同的多项式叫做齐次多项式。
不可约多项式:次数大于零的有理系数的多项式,不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式的乘积时,称为有理数范围内不可约多项式。
实数范围内不可约多项式是一次或某些二次多项式,复数范同内不可约多项式是一次多项式。
对称多项式:在多元多项式中,如果任意两个元互相交换所得的结果都和原式相同,则称此多项式是关于这些元的对称多项式。
同类项:多项式中含有相同的字母,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
二、无理式
含有字母的根式或字母的非整数次乘方的代数式叫做无理式。
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