在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用：
（ 1 ）应用一：已知点 在数轴上表示为
，数轴上任意一点
表示的数为
，则
两点的距离可以表示为 ___________________ ；
应用这个知识， ① 找出所有符合条件的整数 ，使
成立．
② 对于任何有理数 ，
是否有最小值？请说明理由．
（ 2 ）应用二：从数轴上取下一个单位长度的线段，第一次剪掉原长的 ，第二次剪掉剩下的
，依此类推，每次都剪掉剩下的
，则剪掉
次后剩下线段长度的为 ___________________________ ；应用这个原理，请计算：
__________ ．
（ 3 ）应用三：如图，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为 ，
，
的三角形
的顶点
与原点重合，
边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿
的顺序依次缠绕在三角形
的边上，负半轴的线沿
的顺序依次缠绕在三角形
的边上．
① 如果正半轴的线缠绕了 圈，负半轴的线缠绕了
圈，求绕在点
上的所有数之和．
② 如果正半轴的线不变，将负半轴的线拉长一倍，即原线上的点 的位置对应着拉长后的数
，并将三角形
向正半轴平移一个单位后再开始绕，求绕在点
且绝对值不超过
的所有数之和．
答案
（ 1 ）应用 1 ： ， ① x 可以是 -5 、 -4 、 -3 、 -2 、 -1 、 0 、 1 、 2 ， ② 有最小值是 3 ；（ 2 ）应用 2 ：
，
；（ 3 ）应用三： ①18 ， ②-109.
【分析】
（ 1 ）应用一：根据数轴上两点间的距离的表示来列式即可；
① 根据应用一得出 x 表示的是 x 是位于 -5 和 2 之间的所有的点，即可得出答案；
②| x -3|+| x -6| 表示数轴上点到 3 与 6 距离的和，即可得出最小值；
（ 2 ）应用二：第一次剪掉的长度是 ，剩下的长度是
；第二次剪掉的长度是
，剩下的长度是
；以此类推，即可求得答案；
（ 3 ）应用三： ① 分别找出正半轴和负半轴在点 C 上的数字之间的规律，即可求出所有数字之和；
② 分别找出绕在点 C 且绝对值不超过 50 的所有数字，求和即可．
【详解】
（ 1 ）应用一：已知点 A 在数轴上表示为 ，数轴上任意一点 B 表示的数为
，则 AB 两点的距离可以表示为
；
① 中 | x +5|=| x - （ -5 ） | ，表示到数轴上点 x 到点 -5 的距离
| x -2| 表示点 x 到点 2 的距离
因此 | x +5|+| x -2|=7 ，是到 -5 与 2 距离和为 7 的所有的点，
∵-5 到 2 的距离为 7 ，
∴ 当 x 位于 -5 和 2 之间时，距离和为 7 ，
所以 x 可以是 -5 、 -4 、 -3 、 -2 、 -1 、 0 、 1 、 2
②| x -3|+| x -6| 表示数轴上点到 3 与 6 距离的和，
∴ 点在 3 和 6 之间时这个距离和最小，最小值就是 3 到 6 的距离，即最小值为 3
（ 2 ）应用二：第一次剪掉的长度是 ，剩下的长度是
；
第二次剪掉的长度是 ，剩下的长度是
；
第三次剪掉的长度是 ，剩下的长度是
；
第四次剪掉的长度是 ，剩下的长度是
；，
第五次剪掉的长度是 ，剩下的长度是
；
∴
=
，
故答案为： ，
；
（ 3 ）应用三： ① 如果正半轴的线缠绕了 3 圈，绕在点 C 的数字分别为： 9 ， 21 ， 33 ；
负半轴的线缠绕了 3 圈，绕在点 C 的数字分别为： -3 ， -15 ， -27 ．
则绕在点 C 上的所有数字之和为： ；
② 如果正半轴的线不变，并将三角形 ABC 向正半轴平移一个单位后再开始绕，
则正半轴上绕在点 C 且绝对值不超过 50 的数字有： 10 ， 22 ， 34 ， 46 ；
将负半轴的线拉长一倍，并将三角形 ABC 向正半轴平移一个单位后再开始绕，
则负半轴上绕在点 C 且绝对值不超过 50 的数字有：
则绕在点 C 且绝对值不超过 50 的数字之和为：
．
【点睛】
本题考查了绝对值的应用，数轴以及数轴上两点间的距离公式的综合应用，综合性比较强，难度比较大 .
