(阅读理解)
我们知道, ,那么 结果等于多少呢 ?
在图 1 所示三角形数阵中,第 1 行圆圈中的数为 1 ,即 .第 2 行两个圆圈中数的和为 ,即 , … ;第 行 个圆圈中数的和为 ,即 ,这样,该三角形数阵中共有 个圆圈,所有圆圈中数的和为 .
(规律探究)
将三角形数阵经两次旋转可得如图 2 所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第 行的第一个圆圈中的数分别为 , 2 , ),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ________ ,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为 ________ ,因此, ________ .
(解决问题)
根据以上发现,计算, 的结果为 ________ .
【 规律探究 】 , , ;
【 解决问题 】 1345
【分析】
【 规律探究 】 将同一位置圆圈中的数相加即可,所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数,据此可得,每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的 ,从而得出答案;
【 解决问题 】 运用以上结论,将原式变形为 ,化简计算即可得.
【详解】
解: 【 规律探究 】
由题意知,每个位置上三个圆圈中数的和均为 ,
由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为:
,
因此, ;
故答案为: , , ;
【 解决问题 】
原式 ,
故答案为: 1345 .
【点睛】
本题主要考查数字的变化类,阅读材料、理解数列求和的具体方法得出规律,并运用规律解决实际问题是解题的关键.
代数式的性质:
(1)单独一个数或一个字母也是代数式,如-3,a.
(2)代数式中只能有运算符号,不应含有等于号(=、≡)、不等号(≠、≤、≥、<、>、≮、≯)、约等号≈,也就是说,等式或不等式不是代数式,但代数式中可以含有括号。 可以有绝对值。例如:|x|,|-2.25| 等。
(3)代数式中的字母表示的数必须使这个代数式有意义,即在实际问题中,字母表示的数要符合实际问题。
代数式的分类:
在实数范围内,代数式分为有理式和无理式。
一、有理式
有理式包括整式(除数中没有字母的有理式)和分式(除数中有字母且除数不为0的有理式)。
这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算.
整式有包括单项式(数字或字母的乘积或单独的一个数字或字母)和多项式(若干个单项式的和).
1.单项式
没有加减运算的整式叫做单项式。
单项式的系数:单项式中的数字因数叫做单项式(或字母因数)的数字系数,简称系数
单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
2.多项式
个单项式的代数和叫做多项式;多项式中每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。
多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
齐次多项式:各项次数相同的多项式叫做齐次多项式。
不可约多项式:次数大于零的有理系数的多项式,不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式的乘积时,称为有理数范围内不可约多项式。
实数范围内不可约多项式是一次或某些二次多项式,复数范同内不可约多项式是一次多项式。
对称多项式:在多元多项式中,如果任意两个元互相交换所得的结果都和原式相同,则称此多项式是关于这些元的对称多项式。
同类项:多项式中含有相同的字母,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
二、无理式
含有字母的根式或字母的非整数次乘方的代数式叫做无理式。
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