已知，在数轴上 a 、 b 、 c 所对应的点分别为 A 、 B 、 C 点： c 是最小的两位正整数，且 a ， b 满足（ a ＋ 26 ） ² ＋ |b ＋ c| ＝ 0 ，请回答问题：

（ 1 ）请直接写出 a ， b ， c 的值： a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ；

（ 2 ）若 P 为该数轴的一点， PA ＝ 3PB ，求线段 PC 的长．

（ 3 ）若点 M 从 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向终点 C 移动，当点 M 运动到 B 点时，点 N 从 A 出发，以每秒 3 个单位长度向 C 点运动， N 点到达 C 点后，再立即以同样的速度返回点 A ，设点 M 移动时间为 t 秒，当点 N 开始运动后， t 为何值时， M ， N 两点间的距离为 8 ．

答案

（ 1 ）﹣ 26 ；﹣ 10 ； 10 ；（ 2 ） 24 或 12 ；（ 3 ） 20 秒或 28 秒或 32 秒

【分析】

（ 1 ）由 c 为最小的两位正整数可得出 c 的值，结合偶次方及绝对值的非负性可求出 a ， b 的值；

（ 2 ）设点 P 对应的数为 x ，则 PA ＝ |x ﹣（﹣ 26 ） | ＝ |x ＋ 26| ， PB ＝ |x ﹣（﹣ 10 ） | ＝ |x ＋ 10| ，由 PA ＝ 3PB ，即可得出关于 x 的含绝对值符号的一元一次方程，分 x ＜﹣ 26 ，﹣ 26≤x≤ ﹣ 10 及 x ＞﹣ 10 三种情况可求出 x 的值，再将其代入 PC ＝ |x ﹣ 10| 中即可得出结论；

（ 3 ）利用时间＝路程 ÷ 速度可求出点 M 到达点 B ， C 的时间及点 N 到达点 C 及返回点 A 的时间，分 16≤t≤28 ， 28 ＜ t≤36 及 36 ＜ t≤40 三种情况考虑，由 MN ＝ 8 ，即可得出关于 t 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．

【详解】

解：（ 1 ） ∵c 是最小的两位正整数，

∴c ＝ 10.

∵a ， b 满足（ a ＋ 26 ） ² ＋ |b ＋ c| ＝ 0 ，

∴a ＋ 26 ＝ 0 ， b ＋ c ＝ 0 ，

∴a ＝﹣ 26 ， b ＝﹣ c ＝﹣ 10.

故答案为：﹣ 26 ；﹣ 10 ； 10.

（ 2 ）设点 P 对应的数为 x ，则 PA ＝ |x ﹣（﹣ 26 ） | ＝ |x ＋ 26| ， PB ＝ |x ﹣（﹣ 10 ） | ＝ |x ＋ 10| ，

依题意得： |x ＋ 26| ＝ 3|x ＋ 10| ．

当 x ＜﹣ 26 时，﹣ x ﹣ 26 ＝ 3 （﹣ x ﹣ 10 ），

解得： x ＝﹣ 2 （不合题意，舍去）；

当﹣ 26≤x≤ ﹣ 10 时， x ＋ 26 ＝ 3 （﹣ x ﹣ 10 ），

解得： x ＝﹣ 14 ，

∴PC ＝ | ﹣ 14 ﹣ 10| ＝ 24 ；

当 x ＞﹣ 10 时， x ＋ 26 ＝ 3 （ x ＋ 10 ），

解得： x ＝﹣ 2 ，

∴PC ＝ |x ﹣ 10| ＝ 12.

答：线段 PC 的长为 24 或 12.

（ 3 ） | ﹣ 26 ﹣（﹣ 10 ） |÷1 ＝ 16 （秒），

| ﹣ 26 ﹣ 10|÷1 ＝ 36 （秒），

16 ＋ | ﹣ 26 ﹣ 10|÷3 ＝ 28 （秒），

16 ＋ | ﹣ 26 ﹣ 10|÷3×2 ＝ 40 （秒）．

当 16≤t≤28 时，点 M 对应的数为 t ﹣ 26 ，点 N 对应的数为 3 （ t ﹣ 16 ）﹣ 26 ＝ 3t ﹣ 74 ，

∵MN ＝ 8 ，

∴|t ﹣ 26 ﹣（ 3t ﹣ 74 ） | ＝ 8 ，即 48 ﹣ 2t ＝ 8 或 2t ﹣ 48 ＝ 8 ，

解得： t ＝ 20 或 t ＝ 28 ；

当 28 ＜ t≤36 时，点 M 对应的数为 t ﹣ 26 ，点 N 对应的数为﹣ 3 （ t ﹣ 28 ）＋ 10 ＝﹣ 3t ＋ 94 ，

∵MN ＝ 8 ，

∴|t ﹣ 26 ﹣（﹣ 3t ＋ 94 ） | ＝ 8 ，即 120 ﹣ 4t ＝ 8 或 4t ﹣ 120 ＝ 8 ，

解得： t ＝ 28 （不合题意，舍去）或 t ＝ 32 ；

当 36 ＜ t≤40 时，点 M 对应的数为 10 ，点 N 对应的数为﹣ 3 （ t ﹣ 28 ）＋ 10 ＝﹣ 3t ＋ 94 ，

∵MN ＝ 8 ，

∴|10 ﹣（﹣ 3t ＋ 94 ） | ＝ 8 ，即 84 ﹣ 3t ＝ 8 或 3t ﹣ 84 ＝ 8 ，

解得： t ＝ （不合题意，舍去）或 t ＝ （不合题意，舍去）．

答：当点 N 开始运动后， t 为 20 秒或 28 秒或 32 秒时， M ， N 两点间的距离为 8 ．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值及偶次方的非负性，解题的关键是：（ 1 ）利用绝对值及偶次方的非负性，求出 a ， b 的值；（ 2 ）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（ 3 ）找准等量关系，正确列出一元一次方程．