（新知理解）
如图 1 ，点 在线段
上，点
将线段
分成两条不相等的线段
，
，如果较长线段
是较短线段
的
倍，即
，则称点
是线段
的一个圆周率点，此时，线段
，
称为互为圆周率伴侣线段．由此可知，一条线段
的圆周率点有两个，一个在线段
中点的左侧 ( 如图中点
) ，另一个在线段
中点的右侧．
(1) 如图 1 ，若 ，则
；若点
是线段
的不同于点
的圆周率点，则
( 填 “
” 或 “
”) ；
(2) 如果线段 ，点
是线段
的圆周率点，则
；
（问题探究）
(3) 如图 2 ，现有一个直径为 1 个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示 1 的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点 的位置．若点
是线段
的两个不同的圆周率点，求线段
的长；
（问题解决）
(4) 如图 3 ，将直径为 1 个单位长度的圆片上的某点与数轴上表示 2 的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动的滚动一周，该点到达点 的位置．若点
在射线
上，且线段
与以
、
中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请你直接写出点
所表示的数．
答案
（ 1 ） 3π+3 ， = ；（ 2 ） 5 或 5 π ；（ 3 ） MN 长为 π-1 ；（ 4 ） D 点表示的数为： 或
或
或
【分析】
（ 1 ）根据圆周率伴侣线段定义得出线段之间的关系，代值求解，根据定义分别得出 AC 、 BD 与 AB 的关系判断 AC 与 BD 的关系；（ 2 ）根据圆周率点定义，分两种情况，得到 AM 与 BM 的关系，代值求解；（ 3 ）设 OM=x ，由定义得 MC=πx ，根据 OC=OM+MC 列方程求解；（ 4 ）根据点 D 是线段 OE 的圆周率点和点 E 是线段 OD 的圆周率点，得出四种线段之间的关系，代值求解 .
【详解】
解：（ 1 ） ∵AC=3 ， BC=π AC ，
∴AB=AC+BC=3π+3 ；
∵ 点 D 、 C 都是是线段 的圆周率点且不重合，
∴BC=π AC ， AD=πBD ，
∴AB=AC+BC=BD+AD ，
∴AB=AC+π AC ， AB=BD+πBD ，
∴AC= ， BD=
，
∴AC=BD.
（ 2 ）设线段 AB 中点为 C ，当点 M 在线段 AC 之间时，如图 1
∵ 点 M 是线段 的圆周率点，
∴BM=π AM ，
∵ ,
∴AM+π AM=5+5π
∴AM=5 ；
当点 M 在线段 BC 之间时，如图 2
∵ 点 M 是线段 的圆周率点，
∴AM=π BM ，
∵ ，
∴π BM+BM=5+5π ，
∴BM=5 ，
∴AM=5 π.
综上所述， AM 长为 5 或 5 π.
（ 3 ）如图，由题意可知， C 点表示的数是 π+1 ，
M 、 N 均为线段 OC 的圆周率点，设 M 点离 O 点近，且 OM=x ，
∴MC=πOM=πx
∴x+πx=π+1 ，
解得 x=1 ，
∴OM=1 ，
∴OM=CN=1
∴MN=OC-OM-CN=π+1-1-1=π-1.
（ 4 ）根据题意得点 C 表示的数为 π+2 ，设点 D 表示的数为 x ，
如图 1 ，若 OD=πDE ，
∴x=π(π+2-x) ，
解得， x= ，
∴D 点表示的数为： ；
如图 2 ，若 DE=πOD ，
∴ π+2-x= πx ，
解得， x= ，
∴D 点表示的数为： ；
如图 3 ，若 OE=πDE ，
∴π+2=π(x-π-2) ，
解得， x= ，
∴D 点表示的数为： ；
如图 4 ，若 DE=πOE ，
∴x-π-2=π(π+2) ，
解得， x= ，
∴D 点表示的数为： .
综上所述： D 点表示的数为： 或
或
或
.
【点睛】
本题主要考查了新定义题目，根据定义，借助数轴和一元一次方程求解，读懂题目，用新思路解决问题是解答此题的关键 .
