15.
在数学问题中,我们常用几何方法解决代数问题,借助数形结合的方法使复杂问题简单化.
材料一:我们知道 | a | 的几何意义是:数轴上表示数 a 的点到原点的距离; | a ﹣ b | 的几何意义是:数轴上表示数 a , b 的两点之间的距离; | a + b | 的几何意义是:数轴上表示数 a ,﹣ b 的两点之间的距离;根据绝对值的几何意义,我们可以求出以下方程的解.
( 1 ) | x ﹣ 3| = 4
解:由绝对值的几何意义知:
在数轴上 x 表示的点到 3 的距离等于 4
∴ x 1 = 3+4 = 7 , x 2 = 3 ﹣ 4 =﹣ 1
( 2 ) | x +2| = 5
解: ∵| x +2| = | x ﹣(﹣ 2 ) | , ∴ 其绝对值的几何意义为:在数轴上 x 表示的点到﹣ 2 的距离等于 5 . ∴ x 1 =﹣ 2+5 = 3 , x 2 =﹣ 2 ﹣ 5 =﹣ 7
材料二:如何求 | x ﹣ 1|+| x +2| 的最小值.
由 | x ﹣ 1|+| x +2| 的几何意义是数轴上表示数 x 的点到表示数 1 和﹣ 2 两点的距离的和,要使和最小,则表示数 x 的这点必在﹣ 2 和 1 之间(包括这两个端点)取值.
∴| x ﹣ 1|+| x +2| 的最小值是 3 ;由此可求解方程 | x ﹣ 1|+| x +2| = 4 ,把数轴上表示 x 的点记为点 P ,由绝对值的几何意义知:当﹣ 2≤ x ≤1 时, | x ﹣ 1|+| x +2| 恒有最小值 3 ,所以要使 | x ﹣ 1|+| x +2| = 4 成立,则点 P 必在﹣ 2 的左边或 1 的右边,且到表示数﹣ 2 或 1 的点的距离均为 0.5 个单位.
故方程 | x ﹣ 1|+| x +2| = 4 的解为: x 1 =﹣ 2 ﹣ 0.5 =﹣ 2.5 , x 2 = 1+0.5 = 1.5 .
阅读以上材料,解决以下问题:
( 1 )填空: | x ﹣ 3|+| x +2| 的最小值为 ;
( 2 )已知有理数 x 满足: | x +3|+| x ﹣ 10| = 15 ,有理数 y 使得 | y ﹣ 3|+| y +2|+| y ﹣ 5| 的值最小,求 x ﹣ y 的值.
( 3 )试找到符合条件的 x ,使 | x ﹣ 1|+| x ﹣ 2|+…+| x ﹣ n | 的值最小,并求出此时的最小值及 x 的取值范围.