如图 , 已知数轴上点 A 表示的数为 10,B 是数轴上位于点 A 左侧一点 , 且 AB=30, 动点 P 从点 A 出发 , 以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 , 设运动时间为 秒 .
(1) 数轴上点 B 表示的数是 ________, 点 P 表示的数是 ________( 用含 的代数式表示 );
(2) 若 M 为线段 AP 的中点 , N 为线段 BP 的中点 , 在点 P 运动的过程中 , 线段 MN 的长度会发生变化吗 ? 如果不变 , 请求出这个长度 ; 如果会变化 , 请用含 的代数式表示这个长度 ;
(3) 动点 Q 从点 B 处出发 , 以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动 , 若点 P、Q 同时出发 , 问点 P 运动多少秒时与点 Q 相距 4 个单位长度 ?
( 1)-20,10-5t;(2) 线段 MN 的长度不发生变化,都等于 15.(3)13 秒或 17 秒
【分析】
(1) 根据已知可得 B 点表示的数为 10-30 ;点 P 表示的数为 10-5t;
(2) 分类讨论: ①当点 P 在点 A、B 两点之间运动时, ②当点 P 运动到点 B 的左侧时,利用中点的定义和线段的和差易求出 MN.
(3) 分 ①点 P、Q 相遇之前, ②点 P、Q 相遇之后,根据 P、Q 之间的距离恰好等于 2 列出方程求解即可;
【详解】
解:( 1) ) ∵点 A 表示的数为 10,B 在 A 点左边, AB=30,
∴ 数轴上点 B 表示的数为 10-30=-20;
∵动点 P 从点 A 出发,以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为 t(t>0 )秒,
∴点 P 表示的数为 10-5t;
故答案为 -20,10-5t;
( 2 )线段 MN 的长度不发生变化,都等于 15 .理由如下:
①当点 P 在点 A、B 两点之间运动时,
∵M 为线段 AP 的中点 , N 为线段 BP 的中点 ,
∴MN=MP+NP= AP+ BP= ( AP+BP)= AB=15;
②当点 P 运动到点 B 的左侧时:
∵M 为线段 AP 的中点 , N 为线段 BP 的中点 ,
∴MN=MP-NP= AP- BP= ( AP-BP)= AB=15,
∴综上所述,线段 MN 的长度不发生变化,其值为 15.
( 3) 若点 P、Q 同时出发,设点 P 运动 t 秒时与点 Q 距离为 4 个单位长度.
①点 P、Q 相遇之前,
由题意得 4+5t=30+3t ,解得 t=13;
②点 P、Q 相遇之后,
由题意得 5t-4=30+3t ,解得 t=17.
答:若点 P、Q 同时出发, 13 或 17 秒时 P、Q 之间的距离恰好等于 4;
【点睛】
本题考查了数轴一元一次方程的应用,用到的知识点是数轴上两点之间的距离,关键是根据题意画出图形,注意分两种情况进行讨论.
直线、射线、线段的基本性质:
图形 | 表示法 | 端点 | 延长线 | 能否度量 | 基本性质 | |
直线 | 没有端点的一条线 | 一条线, 不要端点 |
无 | 可以向两边无限延长 | 否 | 两端都没有端点,可以无限延长,不可测量的线 |
射线 | 只有一个端点的一条线 | 一条线, 只有一边有端点 |
一个 | 可以向一边无限延长 | 否 | 一端有端点,可以向一边无限延长,不可测量的线 |
线段 | 两边都有端点的一条线 | 一条线,两边都有端点 | 两个 | 不能延长 | 能 | 两端都有端点,不能延长,可测量的线 |
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