如图,射线 上有三点 、 、 ,满足 OA=30cm,AB=90cm,BC=15cm,点 从点 出发,沿 方向以 秒的速度匀速运动,点 从点 出发在线段 上向点 匀速运动,两点同时出发,当点 运动到点 时,点 、 停止运动 .
(1)若点 运动速度为 秒,经过多长时间 、 两点相遇 ?
(2)当 时,点 运动到的位置恰好是线段 OB的中点,求点 的运动速度 ;
(3)当点 运动到线段 上时,分别取 和 的中点 、 ,求 的值 .
( 1)45s;(2) 或 ;(3)2
【解析】
( 1 )设经过 t 秒时间 P 、 Q 两点相遇,列出方程即可解决问题;
( 2 )分两种情形求解即可;
( 3 )用 t 表示 AP 、 EF 的长,代入化简即可解决问题;
【详解】
( 1 )设经过 t 秒时间 P 、 Q 两点相遇,
则 t+2t=90+30+15 ,
解得 t=45 ,
所以经过 45 秒时间 P 、 Q 两点相遇.
( 2 ) ①当 P 在线段 AB 上时,
∵ AB=90 , PA=2PB ,
∴ PA=60 , PB=30 ,
∴ OP=OA+AP = 30+60 = 90 ,
∴点 P 、 Q 的运动时间为 90 秒,
∵ AB=90 , OA = 30 ,
∴ OB = 120 ,
∴ BQ= OB=60 ,
∴点 Q 的路程为 CQ=CB+BQ = 15+60 = 75 ,
∴点 Q 是速度为 cm/ 秒;
②点 P 在线段 AB 延长线上时,
∵ AB=90 , PA=2PB ,
∴ BP=90,AP=180,
∴ OP=OA+AP=30+180=210,
∴点 P 、 Q 的运动时间为 210 秒,
∵ AB=90 , OA = 30 ,
∴ OB = 120 ,
∴ BQ= OB=60 ,
∴点 Q 的路程为 CQ=CB+BQ = 15+60 = 75 ,
∴点 Q 是速度为 cm/ 秒;
( 3 )如图所示:
∵ E 、 F 分别是 OP 、 AB 的中点,
∴ OE= OP= t ,
∴ OF=OA+ AB=30+45=75 ,
∴ .
【点睛】
本题考查两点间距离、路程、速度、时间之间的关系等知识,解题的关键是理解题意,学会构建方程解决问题 .
直线、射线、线段的基本性质:
图形 | 表示法 | 端点 | 延长线 | 能否度量 | 基本性质 | |
直线 | 没有端点的一条线 | 一条线, 不要端点 |
无 | 可以向两边无限延长 | 否 | 两端都没有端点,可以无限延长,不可测量的线 |
射线 | 只有一个端点的一条线 | 一条线, 只有一边有端点 |
一个 | 可以向一边无限延长 | 否 | 一端有端点,可以向一边无限延长,不可测量的线 |
线段 | 两边都有端点的一条线 | 一条线,两边都有端点 | 两个 | 不能延长 | 能 | 两端都有端点,不能延长,可测量的线 |
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