已知 x ＝﹣ 3 是关于 x 的方程（ k+3 ） x+2 ＝ 3x ﹣ 2k 的解．

（ 1 ）求 k 的值；

（ 2 ）在（ 1 ）的条件下，已知线段 AB ＝ 6cm ，点 C 是线段 AB 上一点，且 BC ＝ kAC ，若点 D 是 AC 的中点，求线段 CD 的长．

（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，已知点 A 所表示的数为﹣ 2 ，有一动点 P 从点 A 开始以 2 个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点 Q 从点 B 开始以 4 个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有 PD ＝ 2QD ？

答案

（ 1 ） 2 ；（ 2 ） 1cm ；（ 3 ） 秒或 秒

【分析】

（ 1 ）将 x ＝﹣ 3 代入原方程即可求解；

（ 2 ）根据题意作出示意图，点 C 为线段 AB 上靠近 A 点的三等分点，根据线段的和与差关系即可求解；

（ 3 ）求出 D 和 B 表示的数，然后设经过 x 秒后有 PD ＝ 2QD ，用 x 表示 P 和 Q 表示的数，然后分两种情况 ①当点 D 在 PQ 之间时， ②当点 Q 在 PD 之间时讨论即可求解．

【详解】

（ 1 ）把 x ＝﹣ 3 代入方程（ k+3 ） x+2 ＝ 3x ﹣ 2k 得：﹣ 3 （ k+3 ） +2 ＝﹣ 9 ﹣ 2k ，

解得： k ＝ 2 ；

故 k ＝ 2 ；

（ 2 ）当 C在线段AB上时，如图，

当 k ＝ 2 时， BC ＝ 2AC ， AB ＝ 6cm ，

∴ AC ＝ 2cm ， BC ＝ 4cm ，

∵ D 为 AC 的中点，

∴ CD ＝ AC ＝ 1cm ．

即线段 CD 的长为 1cm ；

（ 3 ）在（ 2 ）的条件下， ∵点 A 所表示的数为﹣ 2 ， AD ＝ CD ＝ 1 ， AB ＝ 6 ，

∴ D 点表示的数为﹣ 1 ， B 点表示的数为 4 ．

设经过 x 秒时，有 PD ＝ 2QD ，则此时 P 与 Q 在数轴上表示的数分别是﹣ 2 ﹣ 2x ， 4 ﹣ 4x ．

分两种情况：

①当点 D 在 PQ 之间时，

∵ PD ＝ 2QD ，

∴ ，解得 x ＝
②当点 Q 在 PD 之间时，

∵ PD ＝ 2QD ，

∴ ，解得 x ＝ ．

答：当时间为 或 秒时，有 PD ＝ 2QD ．

【点睛】

本题考查了方程的解，线段的和与差，数轴上的动点问题，一元一次方程与几何问题，分情况讨论是本题的关键．