如图，数轴上线段 AB=2 （单位长度）， CD=4 （单位长度），点 A 在数轴上表示的数是﹣ 4 ，点 C 在数轴上表示的数是 4 ，若线段 AB 以 3 个单位长度 / 秒的速度向右匀速运动，同时线段 CD 以 1 个单位长度 / 秒的速度向左匀速运动．

（ 1） 问运动多少秒时 BC=2 （单位长度）？

（ 2 ）线段 AB 与线段 CD 从开始相遇到完全离开共经过多长时间？

（ 3）P 是线段 AB 上一点，当 B 点运动到线段 CD 上，且点 P 不在线段 CD 上时，是否存在关系式 BD﹣AP=3PC ．若存在，求线段 PD 的长；若不存在，请说明理由．

答案

（ 1）1或2；（2） 1.5 秒 ；（ 3）5 或 3.5．

【解析】

整体分析 ：

（ 1） 分点 B 在点 C 的左边和点 B 在点 C 的右边两种情况讨论；（ 2） 所走路程为这两条线段的和，用路程，速度，时间之间的关系可求解；（ 3） 随着点 B 的运动 ， 分别讨论当点 B 和点 C 重合、点 C 在点 A 和 B 之间及点 A 与点 C 重合时的情况．

解：（ 1 ）设运动 t 秒时， BC=2 单位长度，

①当点 B 在点 C 的左边时，

由题意得： 3t+2+t=6，

解得： t=1；

②当点 B 在点 C 的右边时，

由题意得： 3t﹣2+t=6，

解得： t=2．

（ 2）（2+4）÷（3+1）=1.5 （秒）．

答：线段 AB 与线段 CD 从开始相遇到完全离开共经过 1.5 秒长时间．

（ 3 ）存在关系式 BD﹣AP=3PC．

设运动时间为 t 秒，

①当 t=(4+2)÷（3+1）=1.5 时，点 B 和点 C 重合，点 P 在线段 AB 上， 0＜PC≤2 ，且 BD=CD=4，

PA+3PC=AB+2PC=2+2PC，

当 PC=1 时， BD=AP+3PC ，即 BD﹣AP=3PC；

②当 1.5＜t＜ 2.5 时，点 C 在点 A 和点 B 之间， 0＜PC＜2：

当点 P 在线段 BC 上时， BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AC+4PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC

当 PC= 0.5 时，有 BD=AP+3PC ，即 BD﹣AP=3PC，

③当 t= 2.5 时，点 A 与点 C 重合， 0＜PC≤2，BD=CD﹣AB=2，AP+3PC=4PC，

当 PC= 0.5 时，有 BD=AP+3PC， 即 BD﹣AP=3PC，

∵ P 在 C 点左侧或右侧，

∴ PD 的长有 2 种可能，即 5 或 3.5．