如图,已知直线 AB:y= x+ 分别交 x 轴、 y 轴于点 B、A 两点 ,C(3,0),D、E 分别为线段 AO 和线段 AC 上一动点, BE 交 y 轴于点 H, 且 AD=CE ,当 BD+BE 的值最小时,则 H 点的坐标为( )
A . ( 0,4) B . ( 0,5) C . ( 0, ) D . ( 0, )
A
【分析】
作 EF⊥BC 于 F ,设 AD=EC=x .利用勾股定理可得 BD+BE= + = + ,要求 BD+BE 的最小值,相当于在 x 轴上找一点 M(x,0 ),使得点 M 到 G( , 3),K( , )的距离之和最小.
【详解】
解:由题意 A(0, ), B(-3,0),C(3,0),
∴AB=AC=8,
作 EF⊥BC 于 F ,设 AD=EC=x.
∵EF∥AO,
∴ ,
∴EF= , CF= ,
∵OH∥EF,
∴ ,
∴OH= ,
∴BD+BE= + = + ,
要求 BD+BE 的最小值,相当于在 x 轴上找一点 M(x,0 ),使得点 M 到 K( , 3),G( , )的距离之和最小.
设 G 关于 x 轴的对称点 G′( , ) ,直线 G′K 的解析式为 y=kx+b,
则有 ,
解得 k= , b= ,
∴直线 G′K 的解析式为 y= x ,
当 y=0 时, x= ,
∴当 x= 时, MG+MK 的值最小,此时 OH= = =4,
∴当 BD+BE 的值最小时,则 H 点的坐标为( 0,4),
故选 A.
【点睛】
本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称最短问题、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考选择题中的压轴题.
函数:一般地,在一个变化过程中,如果有两个自变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。
如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
变量:
在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量。(数学中,常常为x,而y则随x值的变化而变化),有些数值是不随变量而改变的,我们称它们为常量。
自变量:函数一个与它量有关联的变量,这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量(函数):随着自变量的变化而变化,且自变量取唯一值时,因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。
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