如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．

（1）求证：∠BAC=2∠ABD；

（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；

（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．

答案

（1）证明见解析；（2）∠BCD的值为67.5°或72°；（3）．

【分析】

(1)连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．

(2)分三种情形：①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．

(3) 如图3中，作AEBC交BD的延长线于E．则，进而得到，设OB=OA=4a，OH=3a，根据BH²=AB²-AH²=OB2-OH²，构建方程求出a即可解决问题．

【详解】

解：(1)连接OA，如下图1所示：

∵AB=AC，

∴=，

∴OA⊥BC，

∴∠BAO=∠CAO．

∵OA=OB，

∴∠ABD=∠BAO，

∴∠BAC=2∠ABD．

(2)如图2中，延长AO交BC于H．

①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∴∠DBC=2∠ABD．

∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，

∴8∠ABD=180°，

∴∠C=3∠ABD=67.5°．

②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．

∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，

∴10∠ABD=180°，

∴∠BCD=4∠ABD=72°．

③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．

综上所述：∠C的值为67.5°或72°．

(3)如图3中，过A点作AEBC交BD的延长线于E．

则==，且BC=2BH，

∴==，

设OB=OA=4a，OH=3a．

则在Rt△ABH和Rt△OBH中，

∵BH²=AB²﹣AH²=OB²﹣OH²，

∴25 - 49a²=16a²﹣9a²，

∴a²=，

∴BH=，

∴BC=2BH=．

故答案为：．

【点睛】

本题属于圆的综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．