(1)如图1,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D,E在BC上,∠DAE=45°,为了探究BD,DE,CE之间的等量关系,现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB,连接DF,经探究,你所得到的BD,DE,CE之间的等量关系式是 ;(无须证明)
(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,D,E在BC上,∠DAE=60°,∠ADE=45°,试仿照(1)的方法,利用图形的旋转变换,探究BD,DE,CE之间的等量关系,并证明你的结论.
(1) BD2+CE2=DE2; (2) BD2+DE2=CE2,证明见解析.
【解析】
(1)将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB,可证△AEC≌△AFB,故BF=CE,旋转角∠FAE=90°,又∠DAE=45°,故∠FAD=∠FAE−∠DAE=45°,易证△AFD≌△AED,故FD=DE,因为△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,所以∠ABC=∠FAB=45°,从而可得∠FAD=90°,在Rt△FBD中,由勾股定理得线段BD、DE、CE之间的等量关系式;
(2)方法同(1),由∠ADE=45°可得∠ADF=45°,故∠BDF=90°,斜边BF=CE,直角边DF=DE,由勾股定理建立等量关系.
【详解】
(1) BD2+CE2=DE2;
(2)CE2=BD2+DE2.
证明:将△AEC绕点A顺时针旋转120 °得到△AFB,连接FD.
由旋转的性质可得△AEC≌△AFB,∴AF=AE,BF=CE,∠FAB=∠EAC.
∴∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE=∠BAC=120 °.
又∵∠DAE=60 °,
∴∠FAD=∠EAD=60 °.
在△ADF和△ADE中,
∴△ADF≌△ADE(SAS).
∴FD=DE,∠ADF=∠ADE.
∵∠ADE=45 °,
∴∠ADF=45 °,故∠BDF=90 °.
在Rt△BDF中,由勾股定理,得BF2=BD2+DF2.
∴CE2=BD2+DE2.
【点睛】
本题考查了旋转的性质,全等三角形的证明及勾股定理的运用.
三角形全等判定定理:
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了
三角形具有稳定性的原因。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以:SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
三角形全等的判定公理及推论:
(1)“边角边”简称“SAS”
(2)“角边角”简称“ASA”
(3)“边边边”简称“SSS”
(4)“角角边”简称“AAS”
注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
要验证全等三角形,不需验证所有边及所有角也对应地相同。
以下判定,是由三个对应的部分组成,即全等三角形可透过以下定义来判定:
①S.S.S. (边、边、边):
各三角形的三条边的长度都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
②S.A.S. (边、角、边):
各三角形的其中两条边的长度都对应地相等,且两条边夹着的角都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
③A.S.A. (角、边、角):
各三角形的其中两个角都对应地相等,且两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
④A.A.S. (角、角、边):
各三角形的其中两个角都对应地相等,且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。
⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边):
各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分,但不能判定全等三角形:
⑥A.A.A. (角、角、角):
各三角形的任何三个角都对应地相等,但这并不能判定全等三角形,但则可判定相似三角形。
⑦A.S.S. (角、边、边):
各三角形的其中一个角都相等,且其余的两条边(没有夹着该角),但这并不能判定全等三角形,除非是直角三角形。
但若是直角三角形的话,应以R.H.S.来判定。
解题技巧:
一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
因此我们可以来采取逆思维的方式。
来想要证全等,则需要什么条件:要证某某边等于某某边,那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。
然后把所得的等式运用(AAS/ASA/SAS/SSS/HL)证明三角形全等。
有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有:倍长中线,截长补短等。
分析完毕以后要注意书写格式,在全等三角形中,如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。
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