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勾股定理
题型:解答题
难度:偏难
考频指数:109
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1.

(1)问题发现:如图1,ABCCDE均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90°,则线段AE、BD的数量关系为_______,AE、BD所在直线的位置关系为________;

       

(2)深入探究:在(1)的条件下,若点A,E,D在同一直线上,CMDCEDE边上的高,请判断ADB的度数及线段CM,AD,BD之间的数量关系,并说明理由;

(3)解决问题:如图3,已知ABC中,AB=7,BC=3,ABC=45°,以AC为直角边作等腰直角ACD,CAD=90°,AC=AD,连接BD,则的长为             

【知识点】勾股定理
【答案】

1)相等,垂直;(2)AD=2CM+BD;(3)7﹣3

【分析】

(1)结论:AEBDAEBD.如图1中,延长AEBD于点HAHBC于点O.只要证明ACE≌△BCDSAS),即可解决问题;

(2)结论:AD=2CM+BD,只要证明ACE≌△BCDSAS),即可解决问题;

(3)分两种情形分别画出图形,构造全等三角形解决问题即可;

【详解】

(1)结论:AEBDAEBD

理由:如图1中,延长AEBD于点HAHBC于点O

∵△ACBDCE均为等腰直角三角形,

ACB=∠DCE=90°,

ACBCCDCE

∴∠ACE=∠BCD

∴△ACE≌△BCDSAS),

AEBD,∠CAE=∠CBD

∵∠CAE+∠AOC=90°,∠AOC=∠BOH

∴∠BOH+∠CBD=90°

∴∠AHB=90°,

AEBD

故答案是:AEBDAEBD

(2)结论:AD=2CM+BD

理由:如图2中,

∵△ACBDCE均为等腰直角三角形,

ACB=∠DCE=90°,

ACBCCDCE

∴∠ACE=∠BCD

∴△ACE≌△BCDSAS),

AEBD,∠BDC=∠AEC=135°.

∴∠ADB=∠BDC﹣∠CDE=135°﹣45°=90°;

在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高,

CMDMME

DE=2CM

ADDE+AE=2CM+BD

(3)情形1:如图3﹣1中,在ABC的外部,以A为直角顶点作等腰直角BAE,使BAE=90°,AEAB,连接EAEBEC

∵∠ACD=∠ADC=45°,

ACAD,∠CAD=90°,

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即EAC=∠BAD

∴△EAC≌△BADSAS),

BDCE

AEAB=7,

BE,∠ABE=∠AEB=45°,

∵∠ABC=45°,

∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°,

EC

BDCE

情形2:如图3﹣2中,作AEABBC的延长线于E,则ABE是等腰直角三角形,

同法可证:EAC≌△BADSAS),

BDCE

ABAE=7,

BE=7

ECBECB=7﹣3,

综上所述,BD的长为7﹣3.

【点睛】

考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题.

=
编号:350822
更新时间:2021-01-13
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类题推荐:
勾股定理
题型:填空题
难度:中等
考频指数:276次
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【知识点】勾股定理
编号:351127
更新时间:2021-01-18
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