如图①,已知直线y=﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C,以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC.
(1)求点A、C的坐标;
(2)将△ABC对折,使得点A的与点C重合,折痕交AB于点D,求直线CD的解析式(图②);
(3)在坐标平面内,是否存在点P(除点B外),使得△APC与△ABC全等?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)A(2,0);C(0,4);(2);(3)存在,P的坐标为(0,0)或 或.
【分析】
(1)已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C,即可求得A和C的坐标;
(2)根据题意可知△ACD是等腰三角形,算出AD长即可求得D点坐标,最后即可求出CD的解析式;
(3)将点P在不同象限进行分类,根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形,找出符合题意的点P的坐标.
【详解】
(1)(1)令y=0,则-2x+4=0,解得x=2,
∴A(2,0),
令x=0,则y=4,
∴C(0,4);
(2)由折叠知:CD=AD.设AD=x,则CD=x,BD=4-x,
根据题意得:(4-x)2+22=x2解得:x=
此时,AD=,D(2,)
设直线CD为y=kx+4,把D(2,)代入得=2k+4
解得:k=-
∴该直线CD解析式为y=-x+4.
(3)①当点P与点O重合时,△APC≌△CBA,此时P(0,0)
②当点P在第一象限时,如图,
由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB,
则点P在直线CD上.过P作PQ⊥AD于点Q,
在Rt△ADP中,
AD=,PD=BD=4-=,AP=BC=2
由AD×PQ=DP×AP得:PQ=3
∴PQ=
∴xP=2+=,
把x=代入y=-x+4得y=
此时P(,)
(也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标)
③当点P在第二象限时,如图
同理可求得:CQ=
∴OQ=4-=
此时P(-,)
综合得,满足条件的点P有三个,
分别为:P1(0,0);P2(,);P3(-,).
考点:一次函数综合题.
函数:一般地,在一个变化过程中,如果有两个自变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。
如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
变量:
在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量。(数学中,常常为x,而y则随x值的变化而变化),有些数值是不随变量而改变的,我们称它们为常量。
自变量:函数一个与它量有关联的变量,这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量(函数):随着自变量的变化而变化,且自变量取唯一值时,因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。
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