如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，D是AB边上一动点，连接CD交AE于点P，连接BP．已知AB =6cm，设B，D两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，A，P两点间的距离为y2cm．
小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整:
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，
与x的几组对应值：
| x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y1/cm | 2.49 | 2.64 | 2.88 | 3.25 | 3.80 | 4.65 | 6.00 |
| y2/cm | 4.59 | 4.24 | 3.80 | 3.25 | 2.51 | 0.00 |
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，
)，并画出函数y1，的图象；
（3）结合函数图象，回答下列问题：
①当AP=2BD时，AP的长度约为 cm；
②当BP平分∠ABC时，BD的长度约为 cm．
答案
（1）1.5；（2）详见解析；（3）答案不唯一，如：①3.86；②3
【分析】
（1）用光滑的曲线连接y2图象现有的点，在图象上，测量出x=5时，y的值即可；
（2）描点连线即可绘出函数图象；
（3）①当AP=2BD时，即y2=2x，在图象上画出直线y=2x，该图象与y2的交点即为所求；
②从表格数据看，当x=3时，y1=y2=3.25，故当BP平分∠ABC时，此时点P是△ABC的内心，故点D在AB的中点，即可求解．
【详解】
解：（1）根据测量结果得到：
| x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y1/cm | 2.49 | 2.64 | 2.88 | 3.25 | 3.80 | 4.65 | 6.00 |
| y2/cm | 4.59 | 4.24 | 3.80 | 3.25 | 2.51 | 1.5 | 0.00 |
（2）画出函数
的图象；
（3）①当AP=2BD时，即y2=2x，
在图象上画出直线y=2x，该图象与y2的交点即为所求，即图中空心点所示，
空心点的纵坐标为3.86，
②从表格数据看，当x=3时，y1=y2=3.25，
即点D在AB中点时，y1=y2，即此时点P在AB的中垂线上，则点C在AB的中垂线上，则△ABC为等腰三角形，
故当BP平分∠ABC时，此时点P是△ABC的内心，故点D在AB的中点，
故答案可以为：①3.86；②3．
【点睛】
本题考查动点问题函数图象、内心的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
B
C
D
