如图,是等边三角形,,动点从点出发,以的速度沿向点匀速运动,过点作,交折线于点,以为边作等边三角形,使点,在异侧.设点的运动时间为,与重叠部分图形的面积为.
(1)的长为______(用含的代数式表示).
(2)当点落在边上时,求的值.
(3)求关于的函数解析式,并写出自变量的取值范围.
(1);(2);(3)当时,;当时,;当时,.
【解析】
(1)根据“路程速度时间”即可得;
(2)如图(见解析),先根据等边三角形的性质可得,再根据垂直的定义可得,然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,最后在中,利用直角三角形的性质列出等式求解即可得;
(3)先求出点Q与点C重合时x的值,再分、和三种情况,然后分别利用等边三角形的性质、正切三角函数、以及三角形的面积公式求解即可得.
【详解】
(1)由题意得:
故答案为:;
(2)如图,和都是等边三角形
,即
,
在和中,
在中,
,即
解得;
(3)是等边三角形
当点Q与点C重合时,
则,解得
结合(2)的结论,分以下三种情况:
①如图1,当时,重叠部分图形为
由(2)可知,等边的边长为
由等边三角形的性质得:PQ边上的高为
则
②如图2,当时,重叠部分图形为四边形EFPQ
则在中,,
在中,,即
则
③如图3,当时,重叠部分图形为
同②可知,,
在中,,即
则
综上,当时,;当时,;当时,.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质、正切三角函数等知识点,较难的是题(3),依据题意,正确分三种情况讨论是解题关键.
等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形中腰大于高
10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)
等腰三角形的判定:
1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
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如图,在下列等腰三角形中,若,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 ( )
A.(1),(2),(3)
C. (2),(3),(4)
B. (1),(3),(4)
D. (1),(2),(4)