如图,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC=5,则tan∠DAE的值为( )
A. B. C. D.
D
【解析】
先根据矩形的性质和折叠的性质得AF=AD=BC=5,EF=DE,在Rt△ABF中,利用勾股定理可求出BF的长,则CF可得,设CE=x,则DE=EF=3﹣x,然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程,解方程即可得到x,进一步可得DE的长,再根据正切的定义即可求解.
【详解】
解:∵四边形ABCD为矩形,
∴AD=BC=5,AB=CD=3,
∵矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的F处,
∴AF=AD=5,EF=DE,
在Rt△ABF中,BF=,
∴CF=BC﹣BF=5﹣4=1,
设CE=x,则DE=EF=3﹣x
在Rt△ECF中,∵CE2+FC2=EF2,
∴x2+12=(3﹣x)2,解得x=,
∴DE=EF=3﹣x=,
∴tan∠DAE=,
故选:D.
【点睛】
本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识,属于常考题型,灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键.
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
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