背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：

（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；

（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG²+DE²是定值，请求出这个定值．

答案

（1）见解析；（2）当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立；理由见解析；（3）．

【解析】

（1）根据四边形ABCD和AEFG是正方形的性质证明△EAB≌△GAD即可；

（2）根据菱形AEFG和菱形ABCD的性质以及角的和差证明△EAB≌△GAD即可说明当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立；

（3）如图：连接EB，BD,设BE和GD相交于点H，先根据四边形AEFG和ABCD为矩形的性质说明△EAB∽△GAD，再根据相似的性质得到，最后运用勾股定理解答即可．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形

∴AB=AD，

∵四边形AEFG为正方形

∴AE=AG，

∴

在△EAB和△GAD中有：

∴△EAB≌△GAD

∴BE=DG；

(2)当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立。

证明：∵四边形ABCD菱形

∴AB=AD

∵四边形AEFG为正方形

∴AE=AG

∵∠EAG=∠BAD

∴

∴

在△EAB和△GAD中有：

∴△EAB≌△GAD

∴BE=DG；

(3)连接EB，BD,设BE和GD相交于点H

∵四边形AEFG和ABCD为矩形

∴

∴

∵

∴△EAB∽△GAD

∴

∴

∴

∴

，

∴．

【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用所学知识是解答本题的关键．