如图1.已知四边形是矩形.点在的延长线上.与相交于点,与相交于点
求证:;
若,求的长;
如图2,连接,求证:.
(1)见解析;(2);(3)见解析
【解析】(1)由矩形的形及已知证得△EAF≌△DAB,则有∠E=∠ADB,进而证得∠EGB=90º即可证得结论;
(2)设AE=x,利用矩形性质知AF∥BC,则有,进而得到x的方程,解之即可;
(3)在EF上截取EH=DG,进而证明△EHA≌△DGA,得到∠EAH=∠DAG,AH=AG,则证得△HAG为等腰直角三角形,即可得证结论.
【详解】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠EAD=90º,AO=BC,AD∥BC,
在△EAF和△DAB,
,
∴△EAF≌△DAB(SAS),
∴∠E=∠BDA,
∵∠BDA+∠ABD=90º,
∴∠E+∠ABD=90º,
∴∠EGB=90º,
∴BG⊥EC;
(2)设AE=x,则EB=1+x,BC=AD=AE=x,
∵AF∥BC,∠E=∠E,
∴△EAF∽△EBC,
∴,又AF=AB=1,
∴即,
解得:,(舍去)
即AE=;
(3)在EG上截取EH=DG,连接AH,
在△EAH和△DAG,
,
∴△EAH≌△DAG(SAS),
∴∠EAH=∠DAG,AH=AG,
∵∠EAH+∠DAH=90º,
∴∠DAG+∠DAH=90º,
∴∠EAG=90º,
∴△GAH是等腰直角三角形,
∴即,
∴GH=AG,
∵GH=EG-EH=EG-DG,
∴.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识,涉及知识面广,解答的关键是认真审题,提取相关信息,利用截长补短等解题方法确定解题思路,进而推理、探究、发现和计算.
相似三角形的判定:
1.基本判定定理
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等),那么这两个三角形相似。
2.直角三角形判定定理
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
3.一定相似:
(1).两个全等的三角形
(全等三角形是特殊的相似三角形,相似比为1:1)
(2).两个等腰三角形
(两个等腰三角形,如果其中的任意一个顶角或底角相等,那么这两个等腰三角形相似。)
(3).两个等边三角形
(两个等边三角形,三个内角都是60度,且边边相等,所以相似)
(4).直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。
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