在数学探究活动中,敏敏进行了如下操作:如图,将四边形纸片沿过点的直线折叠,使得点落在上的点处,折痕为;再将分别沿折叠,此时点落在上的同一点处.请完成下列探究:
的大小为__________;
当四边形是平行四边形时的值为__________.
30
【解析】
(1)根据折叠得到∠D+∠C=180°,推出AD∥BC,,进而得到∠AQP=90°,以及∠A=180°-∠B=90°,再由折叠,得到∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°即可;
(2)根据题意得到DC∥AP,从而证明∠APQ=∠PQR,得到QR=PR和QR=AR,结合(1)中结论,设QR=a,则AP=2a,由勾股定理表达出AB=AQ=即可解答.
【详解】
解:(1)由题意可知,∠D+∠C=180°,
∴AD∥BC,
由折叠可知∠AQD=∠AQR,∠CQP=∠PQR,
∴∠AQR+∠PQR=,即∠AQP=90°,
∴∠B=90°,则∠A=180°-∠B=90°,
由折叠可知,∠DAQ=∠BAP=∠PAQ,
∴∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°,
故答案为:30;
(2)若四边形APCD为平行四边形,则DC∥AP,
∴∠CQP=∠APQ,
由折叠可知:∠CQP=∠PQR,
∴∠APQ=∠PQR,
∴QR=PR,
同理可得:QR=AR,即R为AP的中点,
由(1)可知,∠AQP=90°,∠PAQ=30°,且AB=AQ,
设QR=a,则AP=2a,
∴QP=,
∴AB=AQ=,
∴,
故答案为:.
【点睛】
本题考查了四边形中的折叠问题,涉及了平行四边形的性质,勾股定理等知识点,解题的关键是读懂题意,熟悉折叠的性质.
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