(2019·上海中考模拟)如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,P是边AC上一动点,BP与CD相交于点E.
(1)如果BC=6,AC=8,且P为AC的中点,求线段BE的长;
(2)联结PD,如果PD⊥AB,且CE=2,ED=3,求cosA的值;
(3)联结PD,如果BP2=2CD2,且CE=2,ED=3,求线段PD的长.
(1)(2)(3) .
【解析】
解:(1)∵P为AC的中点,AC=8,
∴CP=4,
∵∠ACB=90°,BC=6,
∴BP=,
∵D是边AB的中点,P为AC的中点,
∴点E是△ABC的重心,
∴,
(2)过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F,
∴,
∵BD=DA,
∴FD=DC,BF=AC,
∵CE=2,ED=3,则CD=5,
∴EF=8,
∴,
∴,
∴,设CP=k,则PA=3k,
∵PD⊥AB,D是边AB的中点,
∴PA=PB=3k,
∴,
∴,
∵,
∴,
(3)∵∠ACB=90°,D是边AB的中点,
∴,
∵,
∴,
∵∠PBD=∠ABP,
∴△PBD∽△ABP,
∴∠BPD=∠A,
∵∠A=∠DCA,
∴∠DPE=∠DCP,
∵∠PDE=∠CDP,
△DPE∽△DCP,
∴,
∵DE=3,DC=5,
∴.
【点睛】
本题是一道三角形的综合性题目,熟练掌握三角形的重心,三角形相似的判定和性质以及三角函数是解题的关键.
相似三角形的判定:
1.基本判定定理
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等),那么这两个三角形相似。
2.直角三角形判定定理
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
3.一定相似:
(1).两个全等的三角形
(全等三角形是特殊的相似三角形,相似比为1:1)
(2).两个等腰三角形
(两个等腰三角形,如果其中的任意一个顶角或底角相等,那么这两个等腰三角形相似。)
(3).两个等边三角形
(两个等边三角形,三个内角都是60度,且边边相等,所以相似)
(4).直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。
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