（1）y=x²-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P₁（，），P₂（，），P₃（，），P₄（，）.

【解析】

（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，

由对称性得：D（3，0），

设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），

把A（0，3）代入得：3=3a，

a=1，

∴抛物线的解析式；y=x²-4x+3；

（2）如图2，设P（m，m²-4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，

∴∠AOE=45°，

∴△AOE是等腰直角三角形，

∴AE=OA=3，

∴E（3，3），

易得OE的解析式为：y=x，

过P作PG∥y轴，交OE于点G，

∴G（m，m），

∴PG=m-（m²-4m+3）=-m²+5m-3，

∴S_{四边形AOPE}=S_△AOE+S_△POE，

=×3×3+PG•AE，

=+×3×（-m²+5m-3），

=-m²+m，

=（m-）²+，

∵-＜0，

∴当m=时，S有最大值是；

（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，

易得△OMP≌△PNF，

∴OM=PN，

∵P（m，m²-4m+3），

则-m²+4m-3=2-m，

解得：m=或，

∴P的坐标为（，）或（，）；

如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，

∴PN=FM，

则-m²+4m-3=m-2，

解得：x=或；

P的坐标为（，）或（，）；

综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．

点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．

解：（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA。

∵∠DAC=∠BAC，∴∠OCA=∠DAC。∴OC∥AD。

∵AD⊥EF，∴OC⊥EF。

∵OC为半径，∴EF是⊙O的切线。

（2）证明：∵AB为⊙O直径，AD⊥EF，

∴∠BCA=∠ADC=90°。

∵∠DAC=∠BAC，∴△ACB∽△ADC。

∴。∴AC²=AD•AB。

（3）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，∴∠OCA=60°.

∵OC=OA，∴△OAC是等边三角形。∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°。

∵在Rt△ACD中，AD=AC=1。

由勾股定理得：DC=，

∴阴影部分的面积是S=S_梯形OCDA﹣S_扇形OCA=×（2+1）×﹣。

（1）（2）(3) .

【解析】

解：（1）∵P为AC的中点，AC=8，

∴CP=4,

∵∠ACB=90°，BC=6，

∴BP=,

∵D是边AB的中点，P为AC的中点，

∴点E是△ABC的重心,

∴,

（2）过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F,

∴,

∵BD=DA，

∴FD=DC，BF=AC,

∵CE=2，ED=3，则CD=5，

∴EF=8,

∴,

∴，

∴，设CP=k，则PA=3k，

∵PD⊥AB，D是边AB的中点，

∴PA=PB=3k,

∴，

∴，

∵，

∴,

（3）∵∠ACB=90°，D是边AB的中点，

∴,

∵，

∴,

∵∠PBD=∠ABP，

∴△PBD∽△ABP,

∴∠BPD=∠A,

∵∠A=∠DCA，

∴∠DPE=∠DCP，

∵∠PDE=∠CDP，

△DPE∽△DCP，

∴,

∵DE=3,DC=5，

∴.

【点睛】

本题是一道三角形的综合性题目，熟练掌握三角形的重心，三角形相似的判定和性质以及三角函数是解题的关键.

（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．

【解析】

（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，

根据题意得：80（1﹣x）²＝39.2，

解得：x₁＝0.3＝30%，x₂＝1.7（不合题意，舍去）．

答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元．

（2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000，

整理得：a²+75a﹣2500＝0，

解得：a₁＝25，a₂＝﹣100（不合题意，舍去），

∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100．

答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

（1）；（2）y＝﹣x+．

【解析】

（1）把A（1，2）代入y＝得：k＝1×2＝2，

∴反比例函数解析式为：．

答：反比例函数解析式为．

（2）∵B（m，n）在反比例函数上，

∴y＝＝n，

∵S_△ABC＝，

∴m＝3，

∴B的坐标为（3，，

设直线AB的解析式是y＝kx+b，

把A、B的坐标代入得：，

解得：，

∴ y＝﹣x+，

答：直线AB的函数解析式是y＝﹣x+.

【点睛】

本题主要考查对用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质求函数的解析式是解此题的关键．