在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣ax2+2ax+c与x轴相交于A(﹣1,0)、B两点(A点在B点左侧),与y轴相交于点C(0,3),点D是抛物线的顶点.
(1)如图1,求抛物线的解析式;
(2)如图1,点F(0,b)在y轴上,连接AF,点Q是线段AF上的一个动点,P是第一象限抛物线上的一个动点,当b=﹣时,求四边形CQBP面积的最大值与点P的坐标;
(3)如图2,点C1与点C关于抛物线对称轴对称.将抛物线y沿直线AD平移,平移后的抛物线记为y1,y1的顶点为D1,将抛物线y1沿x轴翻折,翻折后的抛物线记为y2,y2的顶点为D2.在(2)的条件下,点P平移后的对应点为P1,在平移过程中,是否存在以P1D2为腰的等腰△C1P1D2,若存在请直接写出点D2的横坐标,若不存在请说明理由.
【解析】(1)将A、C两点坐标代入抛物线解析式当中求出a与c的值即可;
(2)先求出B、F坐标,然后可以证明AF与BC平行,于是△QBC的面积就等于△ABC的面积,问题就转化为求△PBC的面积的最大值,作PE∥y轴交直线BC于E,设P点的横坐标为未知数m,将E点坐标也用m表示,PE的长度用P、E纵坐标之差表示,于是△PBC的面积就可以表示成关于m的二次函数,通过配方法即可求出最值及P点坐标.
(3)由于限定了以P1D2为腰,因此分两大类分别列方程计算即可.
解:(1)将A(﹣1,0)、C(0,3)代入抛物线解析式得:
解得:,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
(2)如图1,连接BC,AC,作PE∥y轴交BC于E.
∵=﹣x2+2x+3=﹣(x+1)(x﹣3).
∴B(3,0),
∵b=﹣,
∴F(0,﹣),
∴=,
∴AF∥BC,
∴S△QBC=S△ABC=AB•OC=6,
由B、C两点坐标可得直线BC的解析式为:y=﹣x+3,
设P(m,﹣m2+2m+3),则E(m,﹣m+3),
PE=yP﹣yE=﹣m2+4m,
∴S△PBC=(xB﹣xC)(yP﹣yE)=﹣m2+6m=﹣(m﹣)2+,
∴S四边形CQBP=S△QBC+S△PBC=S△ABC+S△PBC=﹣(m﹣)2+,
∴当m=时,S四边形CQBP取得最大值,此时P点坐标为(,).
(3)∵y=﹣x2+2x+3=,
∴D(1,4),抛物线对称轴为x=1,
∵C1与C关于直线x=1对称,
∴C1(2,3),
由A、D两点坐标可求得直线AD的解析式为y=2x+2,
设D1(m,2m+2),
则P1(m+,2m+),D2(m,﹣2m﹣2),
∴,
,
,
当P1C1=P1D2时,=,解得,.
当C1D2=P1D2时,9m2+36m+54=,解得,.
综上所述,满足要求的D2的横坐标有:,,,.
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