综合与实践

问题情境:

在综合与实践课上,老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,在中,AB = AC = 10cm,BC = 16cm.将沿BC边上的中线AD剪开,得到和.

操作发现:

(1)乐学小组将图1中的以点D为旋转中心,按逆时针方向旋转,使得A'C'⊥AD,得到图2,A'C'与AB交于点E,则四边形BEC'D的形状是   ▲    .

(2)缜密小组将图1中的沿DB方向平移,A'D'与AB交于点M,A'C'与AD交于点N,得到图3，判断四边形MNDD'的形状,并说明理由.

实践探究:

(3)缜密小组又发现,当(2)中线段DD'的长为a cm时,图3中的四边形MNDD'会成为正方形,求a的值.

(4)创新小组又把图1中的放到如图4所示的位置,点A的对应点A'与点D重合,点D的对应点D'在BD的延长线上,再将绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置,DD'交AB于点P, DC'交AB于点Q,DP = DQ,此时线段AP的长是   ▲    cm. .

答案

[考点]旋转的性质, 平行四边形的判定,平行线的判定,等角的余角相等,等腰三角形的判定与性质,平移的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定,矩形的判定,勾股定理，正方形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,解一元一次方程

[解析] (1)先由两组对边分别平行证四边形BEC'D为平行四边形,再由邻边相等证四边形BEC'D为菱形.

(2)先由“ASA"证△MD'B≌△NDC',得到MD'=ND,再由MD'//ND和∠NDD'= 90°,可得四边形MNDD'为矩形.

(3)由正方形的性质,得MD' = DD'= a,证△BMD'～△BAD,由相似三角形的对应边成比例列式计算即可.

(4)过点D作DG⊥AB于点G,分别求出AQ,AG,PG的长即可.

解:(1)菱形. ............... (1分)

[提示]由题意知AD⊥BD,A'C'⊥AD,

A'C'// BD,∠A = 90°-∠B,∠C'DA =90°-∠C'.

AB=AC,

∠C'=∠B.

∠A=∠C'DA.

AB // C'D.

四边形BEC'D为平行四边形. .

又 DB= DC'.

平行四边形BEC'D为菱形.

(2)四边形MNDD'为矩形. ......... (2 分)

理由:在图1中，AB = AC,AD⊥BC,

BD=CD,∠.ADB=∠ADC=90°,∠B=∠C  ........ (3分)

BD'=C'D,∠MD'B=∠NDC'=90°.

△MD'B≌△NDC'.

MD'=ND. ................... (5分)

∠A'D'C'+∠ADB = 180°,

MD'// ND.

四边形MNDD'为平行四边形， ... (6分)

又∠NDD' = 90°,

平行四边形MNDD'为矩形，.... (7分)

(3)当四边形MNDD'为正方形时,DD'=D'M =a,BD'=BD - a. ......... (8分)

∠B=∠B,∠BD'M=∠BDA=90°,

△BMD'～△BAD.

(9分)

AB=10,

,.

解得  (11分)

(4)..................... (13分)

[提示]如解图,过点D作DG⊥AB于点G.

DP=DQ,

∠DQP=∠DPQ,QG=PG.

又∠A=∠PDQ,

△DQP～△AQD.

∠ADQ=∠DPQ.

∠ADQ =∠AQD.

AQ=AD=6.

∠A=∠A,∠DGA=∠BDA,

△DGA～△BDA.