如图,矩形ABCD中,,,E、F是对角线AC上的两个动点,分别从A、C同时出发,相向而行,速度均为,运动时间为t()秒。
(1)若G、H分别是AB、DC的中点,且,求证:以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形;
(2)在(1)的条件下,当t为何值时?以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形;
(3)若G、H分别是折线A—B—C,C—D—A上的动点,分别从A、C开始,与E、F相同的速度同时出发,当t为何值时,以E、G、F、H为顶点的四边形是菱形,请直接写出t的值。
解:(1)∵四边形ABCD是矩形
∴
∴
∵,
∴
∵G、H分别是AB、DC的中点
∴,
∴
∵E、F是对角线AC上的两个动点,分别从A、C同时出发,相向而行,速度均为
∴
∴
∴(SAS)
∴,
∴
∴以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形(4分)
(2)如图,连结GH,由(1)可知四边形EGFH是平行四边形
∵G、H分别是AB、DC的中点
∴
∴当时,四边形EGFH是矩形,分两种情况:
①若,则,解得:
②若,则,解得:
即当t为4.5秒或0.5秒时,四边形EGFH是矩形。(8分)
(3)连结AG、CH
∵四边形GEHF是菱形
∴,,
∴,
∴四边形AGCH是菱形
∴
设,则
由勾股定理得:
即,解得:
∴
∴
即t为秒时,四边形EGFH是菱形
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
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