如图T4-3,已知抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于C点,A点坐标为(-1,0),OC=2,OB=3,点D为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)P为坐标平面内一点,以B,C,D,P为顶点的四边形是平行四边形,求P点坐标.

图T4-3

答案

解:(1)∵二次函数y=ax²+x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B,C,点C坐标为(8,0),

∴

解得

∴抛物线表达式为y=-x²+x+4.

(2)△ABC是直角三角形.理由:

令y=0,则-x²+x+4=0,

解得x₁=8,x₂=-2,

∴点B的坐标为(-2,0).

由已知可得,

在Rt△ABO中,AB²=BO²+AO²=2²+4²=20,

在Rt△AOC中,AC²=AO²+CO²=4²+8²=80,

又∵BC=OB+OC=2+8=10,

∴在△ABC中,AB²+AC²=20+80=10²=BC²,

∴△ABC是直角三角形.

(3)∵A(0,4),C(8,0),

∴AC==4.

①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(-8,0);

②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(8-4,0)或(8+4,0);

③作AC的垂直平分线,交x轴于N,此时N的坐标为(3,0).

综上,若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0),(8-4,0),(3,0),(8+4,0).

(4)设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MD⊥x轴于点D,

∴MD∥OA,

∴△BMD∽△BAO,

∴=.

∵MN∥AC,

∴=,

∴=.

∵OA=4,BC=10,BN=n+2,

∴MD=(n+2).

∵S_△AMN=S_△ABN-S_△BMN

    =BN·OA-BN·MD

    =(n+2)×4-×(n+2)²

    =-(n-3)²+5,

∴当△AMN面积最大时,N点坐标为(3,0).