在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．

（1）观察猜想

如图1，当α＝60°时，的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 °　．

（2）类比探究

如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．

（3）解决问题

当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．

答案

【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP≌△BAD（SAS），即可解决问题．

（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．

（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题．

②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题．

【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．

∵∠PAD＝∠CAB＝60°，

∴∠CAP＝∠BAD，

∵CA＝BA，PA＝DA，

∴△CAP≌△BAD（SAS），

∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，

∵∠AOC＝∠BOE，

∴∠BEO＝∠CAO＝60°，

∴＝1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，

故答案为1，60°．

（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．

∵∠PAD＝∠CAB＝45°，

∴∠PAC＝∠DAB，

∵＝＝，

∴△DAB∽△PAC，

∴∠PCA＝∠DBA，＝＝，

∵∠EOC＝∠AOB，

∴∠CEO＝∠OABB＝45°，

∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°．

（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．

∵CE＝EA，CF＝FB，

∴EF∥AB，

∴∠EFC＝∠ABC＝45°，

∵∠PAO＝45°，

∴∠PAO＝∠OFH，

∵∠POA＝∠FOH，

∴∠H＝∠APO，

∵∠APC＝90°，EA＝EC，

∴PE＝EA＝EC，

∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，

∴∠H＝∠BAH，

∴BH＝BA，

∵∠ADP＝∠BDC＝45°，

∴∠ADB＝90°，

∴BD⊥AH，

∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，

∵∠ADB＝∠ACB＝90°，

∴A，D，C，B四点共圆，

∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，

∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，

∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a，

∴＝＝2﹣．

如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝a，

∴PC＝a﹣a，

∴＝＝2+．

【点评】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．