如图,抛物线y=ax2+x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=﹣x﹣2经过点A,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.
①当△PCM是直角三角形时,求点P的坐标;
②作点B关于点C的对称点B',则平面内存在直线l,使点M,B,B′到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的抛物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线l:y=kx+b的解析式.(k,b可用含m的式子表示)
【分析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A,C的坐标,根据点A,C的坐标,利用待定系数法可求出二次函数解析式;
(2)①由PM⊥x轴可得出∠PMC≠90°,分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况考虑:(i)当∠MPC=90°时,PC∥x轴,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标;(ii)当∠PCM=90°时,设PC与x轴交于点D,易证△AOC∽△COD,利用相似三角形的性质可求出点D的坐标,根据点C,D的坐标,利用待定系数法可求出直线PC的解析式,联立直线PC和抛物线的解析式成方程组,通过解方程组可求出点P的坐标.综上,此问得解;
②利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B,P的坐标,根据点P,B的坐标,利用待定系数法可求出直线PB的解析式,结合题意可知:直线l过点C,且直线l∥直线PB,再结合点C的坐标即可求出直线l的解析式.
【解答】解:(1)当x=0时,y=﹣x﹣2=﹣2,
∴点C的坐标为(0,﹣2);
当y=0时,﹣x﹣2=0,
解得:x=﹣4,
∴点A的坐标为(﹣4,0).
将A(﹣4,0),C(0,﹣2)代入y=ax2+x+c,得:
,解得:,
∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2.
(2)①∵PM⊥x轴,
∴∠PMC≠90°,
∴分两种情况考虑,如图1所示.
(i)当∠MPC=90°时,PC∥x轴,
∴点P的纵坐标为﹣2.
当y=﹣2时,x2+x﹣2=﹣2,
解得:x1=﹣2,x2=0,
∴点P的坐标为(﹣2,﹣2);
(ii)当∠PCM=90°时,设PC与x轴交于点D.
∵∠OAC+∠OCA=90°,∠OCA+∠OCD=90°,
∴∠OAC=∠OCD.
又∵∠AOC=∠COD=90°,
∴△AOC∽△COD,
∴=,即=,
∴OD=1,
∴点D的坐标为(1,0).
设直线PC的解析式为y=kx+b(k≠0),
将C(0,﹣2),D(1,0)代入y=kx+b,得:
,解得:,
∴直线PC的解析式为y=2x﹣2.
联立直线PC和抛物线的解析式成方程组,得:,
解得:,,
点P的坐标为(6,10).
综上所述:当△PCM是直角三角形时,点P的坐标为(﹣2,﹣2)或(6,10).
②当y=0时,x2+x﹣2=0,
解得:x1=﹣4,x2=2,
∴点B的坐标为(2,0).
∵点C的坐标为(0,﹣2),点B,B′关于点C对称,
∴点B′的坐标为(﹣2,﹣4).
∵点P的横坐标为m(m>0且m≠0),
∴点M的坐标为(m,0).
分三种情况考虑,如图2所示:
∴直线PB的解析式为y=(m+4)x﹣(m+4)(可利用待定系数求出).
∵点B,B′关于点C对称,点B,B′,P到直线l的距离都相等,
∴直线l过点C,且直线l∥直线PB,
∴直线l的解析式为y=(m+4)x﹣2.
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式;(2)①分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况求出点P的坐标;②利用待定系数法及平行线的性质,求出直线l的解析式.
在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP.
(1)观察猜想
如图1,当α=60°时,的值是 ,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ° .
(2)类比探究
如图2,当α=90°时,请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数,并就图2的情形说明理由.
(3)解决问题
当α=90°时,若点E,F分别是CA,CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时的值.
【分析】(1)如图1中,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.证明△CAP≌△BAD(SAS),即可解决问题.
(2)如图2中,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.证明△DAB∽△PAC,即可解决问题.
(3)分两种情形:①如图3﹣1中,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.证明AD=DC即可解决问题.
②如图3﹣2中,当点P在线段CD上时,同法可证:DA=DC解决问题.
【解答】解:(1)如图1中,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.
∵∠PAD=∠CAB=60°,
∴∠CAP=∠BAD,
∵CA=BA,PA=DA,
∴△CAP≌△BAD(SAS),
∴PC=BD,∠ACP=∠ABD,
∵∠AOC=∠BOE,
∴∠BEO=∠CAO=60°,
∴=1,线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°,
故答案为1,60°.
(2)如图2中,设BD交AC于点O,BD交PC于点E.
∵∠PAD=∠CAB=45°,
∴∠PAC=∠DAB,
∵==,
∴△DAB∽△PAC,
∴∠PCA=∠DBA,==,
∵∠EOC=∠AOB,
∴∠CEO=∠OABB=45°,
∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°.
(3)如图3﹣1中,当点D在线段PC上时,延长AD交BC的延长线于H.
∵CE=EA,CF=FB,
∴EF∥AB,
∴∠EFC=∠ABC=45°,
∵∠PAO=45°,
∴∠PAO=∠OFH,
∵∠POA=∠FOH,
∴∠H=∠APO,
∵∠APC=90°,EA=EC,
∴PE=EA=EC,
∴∠EPA=∠EAP=∠BAH,
∴∠H=∠BAH,
∴BH=BA,
∵∠ADP=∠BDC=45°,
∴∠ADB=90°,
∴BD⊥AH,
∴∠DBA=∠DBC=22.5°,
∵∠ADB=∠ACB=90°,
∴A,D,C,B四点共圆,
∠DAC=∠DBC=22.5°,∠DCA=∠ABD=22.5°,
∴∠DAC=∠DCA=22.5°,
∴DA=DC,设AD=a,则DC=AD=a,PD=a,
∴==2﹣.
如图3﹣2中,当点P在线段CD上时,同法可证:DA=DC,设AD=a,则CD=AD=a,PD=a,
∴PC=a﹣a,
∴==2+.
【点评】本题属于相似形综合题,考查了旋转变换,等边三角形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
不等式组的解集是
【解答】解:解不等式≤﹣1,得:x≤﹣2,
解不等式﹣x+7>4,得:x<3,
则不等式组的解集为x≤﹣2,
计算:﹣2﹣1= .
1 .
【分析】本题涉及二次根式化简、负整数指数幂两个考点.针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
【解答】解:﹣2﹣1
=2﹣
=1.
故答案为:1.
如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=a.连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上,则a的值为 .
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