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2019河南人教版初中数学中考真题135058
2019河南人教版初中数学中考真题135058
初中
整体难度:中等
2019-08-11
题号
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一、综合题 (共2题)
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1.

如图,抛物线yax2+x+cx轴于AB两点,交y轴于点C.直线y=﹣x﹣2经过点AC

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P是抛物线上一动点,过点Px轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m

①当△PCM是直角三角形时,求点P的坐标;

②作点B关于点C的对称点B',则平面内存在直线l,使点MBB′到该直线的距离都相等.当点Py轴右侧的抛物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线lykx+b的解析式.(kb可用含m的式子表示)

难度:
知识点:各地中考
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【答案】

【分析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点AC的坐标,根据点AC的坐标,利用待定系数法可求出二次函数解析式;

2PMx轴可得出PMC≠90°,分MPC90°PCM90°两种情况考虑:(i)当MPC90°时,PCx轴,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标;(ii)当PCM90°时,设PCx轴交于点D,易证AOC∽△COD,利用相似三角形的性质可求出点D的坐标,根据点CD的坐标,利用待定系数法可求出直线PC的解析式,联立直线PC和抛物线的解析式成方程组,通过解方程组可求出点P的坐标.综上,此问得解;

利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点BP的坐标,根据点PB的坐标,利用待定系数法可求出直线PB的解析式,结合题意可知:直线l过点C,且直线l直线PB,再结合点C的坐标即可求出直线l的解析式.

【解答】解:(1)当x0时,y=﹣x2=﹣2

C的坐标为(0,﹣2);

y0时,﹣x20

解得:x=﹣4

A的坐标为(﹣40).

A(﹣40),C0,﹣2)代入yax2+x+c,得:

,解得:

抛物线的解析式为yx2+x2

2①∵PMx轴,

∴∠PMC≠90°

分两种情况考虑,如图1所示.

i)当MPC90°时,PCx轴,

P的纵坐标为﹣2

y=﹣2时,x2+x2=﹣2

解得:x1=﹣2x20

P的坐标为(﹣2,﹣2);

ii)当PCM90°时,设PCx轴交于点D

∵∠OAC+∠OCA90°OCA+∠OCD90°

∴∠OACOCD

∵∠AOCCOD90°

∴△AOC∽△COD

,即

OD1

D的坐标为(10).

设直线PC的解析式为ykx+bk≠0),

C0,﹣2),D10)代入ykx+b,得:

,解得:

直线PC的解析式为y2x2

联立直线PC和抛物线的解析式成方程组,得:

解得:

P的坐标为(610).

综上所述:当PCM是直角三角形时,点P的坐标为(﹣2,﹣2)或(610).

y0时,x2+x20

解得:x1=﹣4x22

B的坐标为(20).

C的坐标为(0,﹣2),点BB关于点C对称,

B的坐标为(﹣2,﹣4).

P的横坐标为mm0m≠0),

M的坐标为(m0).

分三种情况考虑,如图2所示:

直线PB的解析式为ym+4xm+4)(可利用待定系数求出).

BB关于点C对称,点BBP到直线l的距离都相等,

直线l过点C,且直线l直线PB

直线l的解析式为ym+4x2

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式;(2MPC90°PCM90°两种情况求出点P的坐标;利用待定系数法及平行线的性质,求出直线l的解析式.

2.

在△ABC中,CACB,∠ACB=α.点P是平面内不与点AC重合的任意一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP,连接ADBDCP

(1)观察猜想

如图1,当α=60°时,的值是   ,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是  ° 

(2)类比探究

如图2,当α=90°时,请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数,并就图2的情形说明理由.

(3)解决问题

当α=90°时,若点EF分别是CACB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点CPD在同一直线上时的值.

难度:
知识点:各地中考
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【答案】

【分析】(1)如图1中,延长CPBD的延长线于E,设ABEC于点O.证明CAP≌△BADSAS),即可解决问题.

2)如图2中,设BDAC于点OBDPC于点E.证明DAB∽△PAC,即可解决问题.

3)分两种情形:如图31中,当点D在线段PC上时,延长ADBC的延长线于H.证明ADDC即可解决问题.

如图32中,当点P在线段CD上时,同法可证:DADC解决问题.

【解答】解:(1)如图1中,延长CPBD的延长线于E,设ABEC于点O

∵∠PADCAB60°

∴∠CAPBAD

CABAPADA

∴△CAP≌△BADSAS),

PCBDACPABD

∵∠AOCBOE

∴∠BEOCAO60°

1,线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°

故答案为160°

2)如图2中,设BDAC于点OBDPC于点E

∵∠PADCAB45°

∴∠PACDAB

∴△DAB∽△PAC

∴∠PCADBA

∵∠EOCAOB

∴∠CEOOABB45°

直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°

3)如图31中,当点D在线段PC上时,延长ADBC的延长线于H

CEEACFFB

EFAB

∴∠EFCABC45°

∵∠PAO45°

∴∠PAOOFH

∵∠POAFOH

∴∠HAPO

∵∠APC90°EAEC

PEEAEC

∴∠EPAEAPBAH

∴∠HBAH

BHBA

∵∠ADPBDC45°

∴∠ADB90°

BDAH

∴∠DBADBC22.5°

∵∠ADBACB90°

ADCB四点共圆,

DACDBC22.5°DCAABD22.5°

∴∠DACDCA22.5°

DADC,设ADa,则DCADaPDa

2

如图32中,当点P在线段CD上时,同法可证:DADC,设ADa,则CDADaPDa

PCaa

2+

【点评】本题属于相似形综合题,考查了旋转变换,等边三角形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.

二、填空题 (共5题)
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1.

不等式组的解集是 

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【答案】

【解答】解:解不等式≤﹣1,得:x≤﹣2,

解不等式﹣x+7>4,得:x<3,

则不等式组的解集为x≤﹣2,

2.

计算:﹣2﹣1 

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【答案】

1 

【分析】本题涉及二次根式化简、负整数指数幂两个考点.针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.

【解答】解:﹣2﹣1

=2﹣

=1

故答案为:1

3.

如图,在矩形ABCD中,AB=1,BCa,点E在边BC上,且BEa.连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上,则a的值为 

难度:
知识点:各地中考
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【答案】


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总体难度:
中等
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2
8.69%
容易
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39.13%
中等
11
47.82%
基础
1
4.34%
题型统计
大题类型
数量
占比
综合题
2
8.69%
填空题
5
21.73%
选择题
9
39.13%
解答题
7
30.43%
知识点统计
知识点
数量
占比
各地中考
23
100.0%
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