如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．
（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为
时，求OA的长；
（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．
答案
【解答】解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，
∵矩形ABCD中，CD⊥AD，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠OAD＝30°，
∴在Rt△CED中，CE＝
CD＝2，DE＝
＝2
，
在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，
∴OD＝AD＝3，
∴点C的坐标为（2，3+2）；
（2）∵M为AD的中点，
∴DM＝3，S△DCM＝6，
又S四边形OMCD＝
，
∴S△ODM＝
，
∴S△OAD＝9，
设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，
xy＝9，
∴x2+y2＝2xy，即x＝y，
将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，
解得x＝3
（负值舍去），
∴OA＝3；
（3）OC的最大值为8，
如图2，M为AD的中点，
∴OM＝3，CM＝
＝5，
∴OC≤OM+CM＝8，
当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，
连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，
∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，
∴△CMD∽△OMN，
∴
＝
＝
，即
＝
＝
，
解得MN＝
，ON＝
，
∴AN＝AM﹣MN＝
，
在Rt△OAN中，OA＝
＝
，
∴cos∠OAD＝
＝
．
