如图1,已知二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B,C,点C坐标为(8,0),连接AB,AC.
(1)请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标;
(4)如图2,若点N在线段BC上运动(不与点B,C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标.
图1
图2
解:(1)y=-x2+x+4.
提示:∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B,C,点C坐标为(8,0),
∴解得
∴抛物线的表达式为y=-x2+x+4.
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
令y=0,则-x2+x+4=0,
解得x1=8,x2=-2,
∴点B的坐标为(-2,0).
在Rt△ABO中,AB2=BO2+AO2=22+42=20,
在Rt△AOC中,AC2=AO2+CO2=42+82=80.
又∵BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中,AB2+AC2=20+80=102=BC2,
∴△ABC是直角三角形.
(3)∵A(0,4),C(8,0),
∴AC==4.
①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于点N,此时N的坐标为(-8,0);
②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于点N,此时N的坐标为(8-4,0)或(8+4,0);
③作AC的垂直平分线,交x轴于点N,此时N的坐标为(3,0).
综上所述,若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0),(8-4,0),(8+4,0),(3,0).
(4)设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2.
如图,过点M作MD⊥x轴于点D,
∴MD∥OA,∴△BMD∽△BAO,
∴=.
∵MN∥AC,∴=,∴=.
∵OA=4,BC=10,BN=n+2,∴MD=(n+2).
∵S△AMN=S△ABN-S△BMN=BN·OA-BN·MD
=(n+2)×4-×(n+2)2
=-(n-3)2+5,
当n=3时,S△AMN最大,
∴当△AMN面积最大时,N点坐标为(3,0).
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