．解：(1)①如图，

∵y＝－2x²＋2x＋4＝－2(x－)²＋，

∴顶点M的坐标为(，)．

当x＝时，y＝－2×＋4＝3，

则点N的坐标为(，3)．

②不存在．理由如下：

MN＝－3＝.

假设存在点P，设P点坐标为(m，－2m＋4)，则D(m，－2m²＋2m＋4)，

∴PD＝－2m²＋2m＋4－(－2m＋4)＝－2m²＋4m.

∵PD∥MN，

∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，

即－2m²＋4m＝，解得m₁＝(舍去)，m₂＝，

此时P点坐标为(，1)．

∵PN＝＝，

∴PN≠MN，

∴平行四边形MNPD不为菱形，

∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形．

(2)存在．

如图，

OB＝4，OA＝2，则AB＝＝2.

当x＝1时，y＝－2x＋4＝2，

则P(1，2)，

∴PB＝＝.

设抛物线的表达式为y＝ax²＋bx＋4，

把A(2，0)代入得4a＋2b＋4＝0，解得b＝－2a－2，

∴抛物线的表达式为y＝ax²－2(a＋1)x＋4.

当x＝1时，y＝ax²－2(a＋1)x＋4＝a－2a－2＋4＝2－a，

则D(1，2－a)，

∴PD＝2－a－2＝－a.

∵DC∥OB，

∴∠DPB＝∠OBA，

∴当＝时，△PDB∽△BOA，即＝，

解得a＝－2，

此时抛物线的表达式为y＝－2x²＋2x＋4.

当＝时，△PDB∽△BAO，即＝，

解得a＝－，

此时抛物线的表达式为y＝－x²＋3x＋4.

综上所述，满足条件的抛物线的表达式为y＝－2x²＋2x＋4或y＝－x²＋3x＋4.

解：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝a(x－3)²＋5(a≠0)，将(8，0)代入y＝a(x－3)²＋5，

解得a＝－，

∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为

y＝－(x－3)²＋5(0＜x＜8)．

(2)当y＝1.8时，有－(x－3)²＋5＝1.8，

解得x₁＝－1(舍去)，x₂＝7，

∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．

(3)当x＝0时，y＝－(x－3)²＋5＝.

设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝－x²＋bx＋.

∵该函数图象过点(16，0)，

∴0＝－×16²＋16b＋，解得b＝3，

∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝－x²＋3x＋＝－(x－)²＋，

∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．

解：(1)根据表格可知当1≤x≤10(x为整数)时，z＝－x＋20，

当11≤x≤12(x为整数)时，z＝10，

∴z与x的关系式为

z＝

(2)当1≤x≤8时，

w＝(－x＋20)(x＋4)＝－x²＋16x＋80；

当9≤x≤10时，

w＝(－x＋20)(－x＋20)＝x²－40x＋400；

当11≤x≤12时，

w＝10(－x＋20)＝－10x＋200，

∴w与x的关系式为

w＝

(3)当1≤x≤8时，

w＝－x²＋16x＋80＝－(x－8)²＋144，

∴x＝8时，w有最大值为144万元；

当9≤x≤10时，w＝x²－40x＋400＝(x－20)²，

w随x的增大而减小，

∴x＝9时，w有最大值为121万元；

当11≤x≤12时，w＝－10x＋200，

w随x的增大而减小，

∴x＝11时，w有最大值为90万元．

∵90<121<144，

∴x＝8时，w有最大值为144万元．

解：(1)∵点A的坐标为(－1，0)，∴OA＝1.

∵OC＝3OA，∴点C的坐标为(0，3)．

将A，C点坐标代入y＝ax²－2ax＋c得

∴抛物线C₁的表达式为y＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4，

∴点G的坐标为(1，4)．

(2)设抛物线C₂的表达式为y＝－x²＋2x＋3－k，

即y＝－(x－1)²＋4－k.

如图，过点G′作G′D⊥x轴于点D，

设B′D＝m.

∵△A′B′G′为等边三角形，

∴G′D＝B′D＝m，

则点B′的坐标为(m＋1，0)，点G′的坐标为(1，m)．

将点B′，G′的坐标代入y＝－(x－1)²＋4－k得

解得 (舍去)或

∴k＝1.

(3)存在．M₁(，0)，N₁(，－1)；M₂(，0)，N₂(1，－1)；M₃(4，0)，N₃(10，－1)；M₄(4，0)，N₄(－2，－1)．

解：(1)y＝－x²＋x＋4.

提示：∵二次函数y＝ax²＋x＋c的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B，C，点C坐标为(8，0)，

∴解得

∴抛物线的表达式为y＝－x²＋x＋4.

(2)△ABC是直角三角形．理由如下：

令y＝0，则－x²＋x＋4＝0，

解得x₁＝8，x₂＝－2，

∴点B的坐标为(－2，0)．

在Rt△ABO中，AB²＝BO²＋AO²＝2²＋4²＝20，

在Rt△AOC中，AC²＝AO²＋CO²＝4²＋8²＝80.

又∵BC＝OB＋OC＝2＋8＝10，

∴在△ABC中，AB²＋AC²＝20＋80＝10²＝BC²，

∴△ABC是直角三角形．

(3)∵A(0，4)，C(8，0)，

∴AC＝＝4.

①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于点N，此时N的坐标为(－8，0)；

②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于点N，此时N的坐标为(8－4，0)或(8＋4，0)；

③作AC的垂直平分线，交x轴于点N，此时N的坐标为(3，0)．

综上所述，若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为(－8，0)，(8－4，0)，(8＋4，0)，(3，0)．

(4)设点N的坐标为(n，0)，则BN＝n＋2.

如图，过点M作MD⊥x轴于点D，

∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，

∴＝.

∵MN∥AC，∴＝，∴＝.

∵OA＝4，BC＝10，BN＝n＋2，∴MD＝(n＋2)．

∵S_△AMN＝S_△ABN－S_△BMN＝BN·OA－BN·MD

＝(n＋2)×4－×(n＋2)²

＝－(n－3)²＋5，

当n＝3时，S_△AMN最大，

∴当△AMN面积最大时，N点坐标为(3，0)．