如图1，抛物线C₁：y＝ax²－2ax＋c(a＜0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标为(－1，0)，点O为坐标原点，OC＝3OA，抛物线C₁的顶点为G.

(1)求出抛物线C₁的表达式，并写出点G的坐标；

(2)如图2，将抛物线C₁向下平移k(k＞0)个单位，得到抛物线C₂，设C₂与x轴的交点为A′，B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值；

(3)在(2)的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C₁，C₂于P，Q两点，试探究在直线y＝－1上是否存在点N，使得以P，Q，N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．

答案

解：(1)∵点A的坐标为(－1，0)，∴OA＝1.

∵OC＝3OA，∴点C的坐标为(0，3)．

将A，C点坐标代入y＝ax²－2ax＋c得

∴抛物线C₁的表达式为y＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4，

∴点G的坐标为(1，4)．

(2)设抛物线C₂的表达式为y＝－x²＋2x＋3－k，

即y＝－(x－1)²＋4－k.

如图，过点G′作G′D⊥x轴于点D，

设B′D＝m.

∵△A′B′G′为等边三角形，

∴G′D＝B′D＝m，

则点B′的坐标为(m＋1，0)，点G′的坐标为(1，m)．

将点B′，G′的坐标代入y＝－(x－1)²＋4－k得

解得 (舍去)或

∴k＝1.

(3)存在．M₁(，0)，N₁(，－1)；M₂(，0)，N₂(1，－1)；M₃(4，0)，N₃(10，－1)；M₄(4，0)，N₄(－2，－1)．