如图，已知直线y＝－2x＋4分别交x轴、y轴于点A，B，抛物线经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D.

(1)若抛物线的表达式为y＝－2x²＋2x＋4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N.

①求点M，N的坐标；

②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；

(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．

答案

．解：(1)①如图，

∵y＝－2x²＋2x＋4＝－2(x－)²＋，

∴顶点M的坐标为(，)．

当x＝时，y＝－2×＋4＝3，

则点N的坐标为(，3)．

②不存在．理由如下：

MN＝－3＝.

假设存在点P，设P点坐标为(m，－2m＋4)，则D(m，－2m²＋2m＋4)，

∴PD＝－2m²＋2m＋4－(－2m＋4)＝－2m²＋4m.

∵PD∥MN，

∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，

即－2m²＋4m＝，解得m₁＝(舍去)，m₂＝，

此时P点坐标为(，1)．

∵PN＝＝，

∴PN≠MN，

∴平行四边形MNPD不为菱形，

∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形．

(2)存在．

如图，

OB＝4，OA＝2，则AB＝＝2.

当x＝1时，y＝－2x＋4＝2，

则P(1，2)，

∴PB＝＝.

设抛物线的表达式为y＝ax²＋bx＋4，

把A(2，0)代入得4a＋2b＋4＝0，解得b＝－2a－2，

∴抛物线的表达式为y＝ax²－2(a＋1)x＋4.

当x＝1时，y＝ax²－2(a＋1)x＋4＝a－2a－2＋4＝2－a，

则D(1，2－a)，

∴PD＝2－a－2＝－a.

∵DC∥OB，

∴∠DPB＝∠OBA，

∴当＝时，△PDB∽△BOA，即＝，

解得a＝－2，

此时抛物线的表达式为y＝－2x²＋2x＋4.

当＝时，△PDB∽△BAO，即＝，

解得a＝－，

此时抛物线的表达式为y＝－x²＋3x＋4.

综上所述，满足条件的抛物线的表达式为y＝－2x²＋2x＋4或y＝－x²＋3x＋4.