如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示线段DC的长；

（2）当点Q与点C重合时，求t的值；

（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．

答案

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4，

∴AC=2，

∵PD⊥AC，

∴∠ADP=∠CDP=90°，

在Rt△ADP中，AP=2t，

∴DP=t，AD=APcosA=2t×=t，

∴CD=AC﹣AD=2﹣t（0＜t＜2）；

（2）在Rt△PDQ中，∵∠DPC=60°，

∴∠PQD=30°=∠A，

∴PA=PQ，

∵PD⊥AC，

∴AD=DQ，

∵点Q和点C重合，

∴AD+DQ=AC，

∴2×t=2，

∴t=1；

（3）当0＜t≤1时，S=S_△PDQ=DQ×DP=×t×t=t²；

当1＜t＜2时，如图2，

CQ=AQ﹣AC=2AD﹣AC=2t﹣2=2（t﹣1），

在Rt△CEQ中，∠CQE=30°，

∴CE=CQ•tan∠CQE=2（t﹣1）×=2（t﹣1），

∴S=S_△PDQ﹣S_△ECQ=×t×t﹣×2（t﹣1）×2（t﹣1）=﹣t²+4t﹣2，

∴S=；

（4）

当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，如图3，

∴∠PGF=90°，PG=PQ=AP=t，AF=AB=2，

∵∠A=∠AQP=30°，

∴∠FPG=60°，

∴∠PFG=30°，

∴PF=2PG=2t，

∴AP+PF=2t+2t=2，

∴t=；

当PQ的垂直平分线过AC的中点M时，如图4，

∴∠QMN=90°，AN=AC=，QM=PQ=AP=t，

在Rt△NMQ中，NQ==t，

∵AN+NQ=AQ，

∴+t=2t，

∴t=，

当PQ的垂直平分线过BC的中点时，如图5，

∴BF=BC=1，PE=PQ=t，∠H=30°，

∵∠ABC=60°，

∴∠BFH=30°=∠H，

∴BH=BF=1，

在Rt△PEH中，PH=2PE=2t，

∴AH=AP+PH=AB+BH，

∴2t+2t=5，

∴t=，

即：当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为秒或秒或秒．

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．