如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点.动点P从点A出发,在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动,到达点O停止运动,点A关于点P的对称点为点Q,以线段PQ为边向上作正方形PQMN.设运动时间为t秒.
(1)当t=秒时,点Q的坐标是 ;
(2)在运动过程中,设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S,求S与t的函数表达式;
(3)若正方形PQMN对角线的交点为T,请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值.
【分析】(1)先确定出点A的坐标,进而求出AP,利用对称性即可得出结论;
(2)分三种情况,①利用正方形的面积减去三角形的面积,②利用矩形的面积减去三角形的面积,③利用梯形的面积,即可得出结论;
(3)先确定出点T的运动轨迹,进而找出OT+PT最小时的点T的位置,即可得出结论.
【解答】解:(1)令y=0,
∴﹣x+4=0,
∴x=6,
∴A(6,0),
当t=秒时,AP=3×=1,
∴OP=OA﹣AP=5,
∴P(5,0),
由对称性得,Q(4,0);
故答案为(4,0);
(2)当点Q在原点O时,OQ=6,
∴AP=OQ=3,
∴t=3÷3=1,
①当0<t≤1时,如图1,令x=0,
∴y=4,
∴B(0,4),
∴OB=4,
∵A(6,0),
∴OA=6,
在Rt△AOB中,tan∠OAB==,
由运动知,AP=3t,
∴P(6﹣3t,0),
∴Q(6﹣6t,0),
∴PQ=AP=3t,
∵四边形PQMN是正方形,
∴MN∥OA,PN=PQ=3t,
在Rt△APD中,tan∠OAB===,
∴PD=2t,
∴DN=t,
∵MN∥OA
∴∠DCN=∠OAB,
∴tan∠DCN===,
∴CN=t,
∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=(3t)2﹣t×t=t2;
②当1<t≤时,如图2,同①的方法得,DN=t,CN=t,
∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×(6﹣3t)﹣t×t=﹣t2+18t;
③当<t≤2时,如图3,S=S梯形OBDP=(2t+4)(6﹣3t)=﹣3t2+12;
(3)如图4,由运动知,P(6﹣3t,0),Q(6﹣6t,0),
∴M(6﹣6t,3t),
∵T是正方形PQMN的对角线交点,
∴T(6﹣t,t)
∴点T是直线y=﹣x+2上的一段线段,(﹣3≤x<6),
作出点O关于直线y=﹣x+2的对称点O'交此直线于G,过点O'作O'F⊥x轴,则O'F就是OT+PT的最小值,
由对称知,OO'=2OG,
易知,OH=2,
∵OA=6,AH==2,
∴S△AOH=OH×OA=AH×OG,
∴OG=,
∴OO'=
在Rt△AOH中,sin∠OHA===,
∵∠HOG+∠AOG=90°,∠HOG+∠OHA=90°,
∴∠AOG=∠OHA,
在Rt△OFO'中,O'F=OO'sin∠O'OF=×=,
即:OT+PT的最小值为.