综 合 与 实 践

问 题 情 境 ： 在 数 学 活 动 课 上 ， 老 师 出 示 了 这 样 一 个 问 题 ： 如 图 1， 在 矩 形 ABCD 中， AD=2AB， E 是 AB 延 长 线 上 一 点 ，且 BE=AB，连 接 DE，交 BC 于点 M，以 DE 为 一 边 在 DE 的 左 下 方 作 正 方 形 DEFG， 连接 AM． 试 判 断 线 段 AM 与 DE 的 位 置 关 系 ．

探 究 展 示 ： 勤 奋 小 组 发 现 ， AM 垂直平分 DE，并展示了如下的 证 明方法：

证明：  B E = A B,   \ AE = 2 AB

AD = 2 AB, \ AD = AE

四边形 ABCD 是 矩 形 ， \ AD / / BC.

_\（ 依 据 １ ）

BE = AB , \ \ EM = DM .

_{即 AM 是△ ADE 的 DE 边上的中线，}

又  AD = AE, \ AM ^ DE. _{（依据 2）}

\AM 垂直平分 DE．

反 思 交 流 ：

(1) 上 述 证 明 过 程 中 的 “ 依 据 1”“ 依 据 2”分别是指什么？

_{‚ 试 判 断 图 １ 中 的 点 A 是否在线段 GF 的 垂 直 平 分 上 ， 请 直 接 回 答 ， 不 必 证 明 ；}

(2)创 新 小 组 受 到 勤 奋 小 组 的 启 发 ， 继 续 进 行 探 究 ， 如 图 2， 连 接 CE，以 CE 为 一 边 在 CE 的左下 方作正方形 CEFG， 发 现 点 G 在线段 BC 的 垂 直 平 分 线 上 ， 请 你 给 出 证 明 ；

_{探 索 发 现 ：}

(3)如图 3，连接 CE，以 CE 为一边在 CE 的右上方作正方形 CEFG，可以发现点 C，点 B 都在线段 AE 的垂直平分线上， 除此之外，请观察 矩 形 ABCD 和正方形 CEFG 的顶点与边，你还能 发现哪个 顶点在哪条边的垂 直 平分线上，请写出 一 个你发现的结论， 并 加以证明 .

答案

【考点】 平 行 线 分 线 段 成 比 例 ， 三 线 合 一 ， 正 方 形 、 矩 形 性 质 ， 全 等

【解析】

(1)  答 ： 依据 1：两 条 直 线 被 一 组 平 行 线 所 截 ，所 得 的 对 应 线 段 成 比 例（ 或 平 行 线 分 线 段 成比例） .

_{依据 2： 等 腰 三 角 形 顶 角 的 平 分 线 ， 底 边 上 的 中 线 及 底 边 上 的 高 互 相 重 合 （ 或 等 腰 三 角}

形的“三线合一 ”） .

‚ 答：点 A 在 线 段 GF 的垂直平分线上 . (2)      证明 ：过点 G 作 GH ^ BC 于点 H，

四 边形 ABCD 是 矩 形 ， 点 E 在 AB 的 延 长 线 上 ，

\ÐCBE = ÐABC = ÐGHC = 90°. \Ð1+Ð2=90°.

_{四边形 CEFG 为 正 方 形 ，}

\CG = CE, ÐGCE = 90°.Ð1+ Ð3 = 90°. \Ð2=Ð3.

\△GHC ≌ △CBE. \ HC = BE.

四边形 ABCD 是 矩 形 ， \ AD = BC.

           AD = 2 AB, BE = AB, \ BC = 2BE = 2HC. \ HC = BH.

\GH 垂直平分 BC.\点 G 在 BC 的 垂 直 平 分 线 上

\FM 垂直平分 BC， \点 F 在 BC 边 的 垂 直 平 分 线 上 .

证 法 二 ： 过 F 作 FN ^ BE 交 BE 的 延 长 线 于 点 N，连接 FB， FC.

四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 AB 的延长线上，

\∠ CBE=∠ ABC=∠ N=90°. \∠ 1+∠ 3=90°.

四边形 CEFG 为正方形， \EC=EF，∠ CEF=90°.

\∠ 1+∠ 2=90°. \∠ 2=∠ 3.

\△ ENF @ △ CBE.

\NF=BE,NE=BC.

四边形 ABCD 是矩形， \AD=BC.

AD=2AB， BE=AB. \设 BE=a，则 BC=EN=2a,NF=a.