如图,抛物线与 x 轴交于 A , B 两点(点 A 在点 B 的 左 侧 ), 与 y 轴交于点 C ,连接
AC , BC .点 P 是 第 四 象 限 内 抛 物 线 上 的 一 个 动 点 ,点 P 的横坐标为 m ,过 点 P 作 PM ^ x 轴 ,垂 足 为点 M , PM 交 BC 于点 Q ,过点 P 作 PE∥ AC 交 x 轴于点 E ,交 BC 于点 F .
( 1) 求 A , B , C 三点的坐标;
( 2) 试探究在点 P 的 运 动 的 过 程 中 ,是 否 存 在 这 样 的 点 Q ,使 得 以 A , C , Q 为 顶 点 的 三 角 形 是
等腰三角形 .若 存 在 , 请 直.接.写出此时点 Q 的 坐 标 ; 若 不 存 在 , 请 说明理由;
( 3) 请用含 m 的 代 数 式 表 示 线 段 QF 的长,并求出 m 为 何 值 时 QF 有最大值 .
【考点】 几 何 与 二 次 函 数 综 合
【解析】
( 1) 解: 由 y = 0 ,得
解得 x1 = -3 , x2 = 4 .
\ 点 A , B 的坐标分别为 A(-3,0), B( 4, 0)
由 x = 0 ,得 y = -4 .\ 点 C 的 坐 标 为 C( 0, -4) .
1
( 2) 答: Q ( 5
2 , 5
2
2 - 4) , Q (1,-3) .
2
2
( 3) 过点 F 作 FG ^ PQ 于点 G .
则 FG∥x 轴 . 由 B( 4, 0), C( 0, -4),得 △O B C为 等 腰 直 角 三 角 形 .
\ ÐOBC = ÐQFG = 45° . \ GQ = FG = FQ .
PE∥ AC , \ Ð1 = Ð2 .
FG∥x 轴,\ Ð2 = Ð3 . \ Ð1 = Ð3 .
ÐFGP = ÐAOC = 90° , \ △FGP∽△AOC .
综 合 与 实 践
问 题 情 境 : 在 数 学 活 动 课 上 , 老 师 出 示 了 这 样 一 个 问 题 : 如 图 1, 在 矩 形 ABCD 中, AD=2AB, E 是 AB 延 长 线 上 一 点 ,且 BE=AB,连 接 DE,交 BC 于点 M,以 DE 为 一 边 在 DE 的 左 下 方 作 正 方 形 DEFG, 连接 AM. 试 判 断 线 段 AM 与 DE 的 位 置 关 系 .
探 究 展 示 : 勤 奋 小 组 发 现 , AM 垂直平分 DE,并展示了如下的 证 明方法:
证明: B E = A B, \ AE = 2 AB
AD = 2 AB, \ AD = AE
四边形 ABCD 是 矩 形 , \ AD / / BC.
\( 依 据 1 )
BE = AB , \ \ EM = DM .
即 AM 是△ ADE 的 DE 边上的中线,
又 AD = AE, \ AM ^ DE. (依据 2)
\AM 垂直平分 DE.
反 思 交 流 :
(1) 上 述 证 明 过 程 中 的 “ 依 据 1”“ 依 据 2”分别是指什么?
‚ 试 判 断 图 1 中 的 点 A 是否在线段 GF 的 垂 直 平 分 上 , 请 直 接 回 答 , 不 必 证 明 ;
(2)创 新 小 组 受 到 勤 奋 小 组 的 启 发 , 继 续 进 行 探 究 , 如 图 2, 连 接 CE,以 CE 为 一 边 在 CE 的左下 方作正方形 CEFG, 发 现 点 G 在线段 BC 的 垂 直 平 分 线 上 , 请 你 给 出 证 明 ;
探 索 发 现 :
(3)如图 3,连接 CE,以 CE 为一边在 CE 的右上方作正方形 CEFG,可以发现点 C,点 B 都在线段 AE 的垂直平分线上, 除此之外,请观察 矩 形 ABCD 和正方形 CEFG 的顶点与边,你还能 发现哪个 顶点在哪条边的垂 直 平分线上,请写出 一 个你发现的结论, 并 加以证明 .
【考点】 平 行 线 分 线 段 成 比 例 , 三 线 合 一 , 正 方 形 、 矩 形 性 质 , 全 等
【解析】
(1) 答 : 依据 1:两 条 直 线 被 一 组 平 行 线 所 截 ,所 得 的 对 应 线 段 成 比 例( 或 平 行 线 分 线 段 成比例) .
依据 2: 等 腰 三 角 形 顶 角 的 平 分 线 , 底 边 上 的 中 线 及 底 边 上 的 高 互 相 重 合 ( 或 等 腰 三 角
形的“三线合一 ”) .
‚ 答:点 A 在 线 段 GF 的垂直平分线上 . (2) 证明 :过点 G 作 GH ^ BC 于点 H,
四 边形 ABCD 是 矩 形 , 点 E 在 AB 的 延 长 线 上 ,
\ÐCBE = ÐABC = ÐGHC = 90°. \Ð1+Ð2=90°.
四边形 CEFG 为 正 方 形 ,
\CG = CE, ÐGCE = 90°.Ð1+ Ð3 = 90°. \Ð2=Ð3.
\△GHC ≌ △CBE. \ HC = BE.
四边形 ABCD 是 矩 形 , \ AD = BC.
AD = 2 AB, BE = AB, \ BC = 2BE = 2HC. \ HC = BH.
\GH 垂直平分 BC.\点 G 在 BC 的 垂 直 平 分 线 上
( 3)答:点 F 在 BC 边的垂直平分线上 ( 或点 F 在 AD 边 的 垂 直 平 分 线 上 ) .
证 法 一 : 过点 F 作 FM ^ BC 于点 M,过点 E 作 EN ^ FM 于点 N.
\ÐBMN = ÐENM = ÐENF = 90°.
四边形 ABCD 是 矩 形 , 点 E 在 AB 的延长线 上,
\ ÐCBE = ÐABC = 90°.\四边形 BENM 为矩形 .
\ BM = EN , ÐBEN = 90°. \Ð1+ Ð2 = 90°.
四边形 CEFG 为 正 方 形 ,
\ EF = EC, ÐCEF = 90°. \Ð2 + Ð3 = 90°.
\Ð1=Ð3. ÐCBE = ÐENF = 90°,
\△ENF≌△EBC.
\ NE = BE. \ BM = BE.
四边形 ABCD 是 矩 形 , \ AD = BC.
AD = 2 AB, AB = BE. \ BC = 2BM . \ BM = MC.
\FM 垂直平分 BC, \点 F 在 BC 边 的 垂 直 平 分 线 上 .
证 法 二 : 过 F 作 FN ^ BE 交 BE 的 延 长 线 于 点 N,连接 FB, FC.
四边形 ABCD 是矩形,点 E 在 AB 的延长线上,
\∠ CBE=∠ ABC=∠ N=90°. \∠ 1+∠ 3=90°.
四边形 CEFG 为正方形, \EC=EF,∠ CEF=90°.
\∠ 1+∠ 2=90°. \∠ 2=∠ 3.
\△ ENF @ △ CBE.
\NF=BE,NE=BC.
四边形 ABCD 是矩形, \AD=BC.
AD=2AB, BE=AB. \设 BE=a,则 BC=EN=2a,NF=a.
\BF=CF. \点 F 在 BC 边 的 垂 直 平 分 线 上 .
请 阅 读 下 列 材 料 , 并 完 成 相 应 的 任 务 :
在 数 学 中 ,利 用 图 形 在 变 化 过 程 中 的 不 变 性 质 ,常 常 可 以 找 到 解 决 问 题 的 办 法 .著 名 美 籍 匈 牙 利数学家波利亚在 他 所著的《数学的发现 》一书中有这样一个 例子:试问如何在一 个三角形 ABC 的 AC 和 BC 两 边 上 分 别 取 一 点 X 和 Y,使得 AX=BY=XY.( 如 图 ) 解 决 这 个 问 题 的 操 作 步 骤 如 下 : 第 一 步 ,在 CA 上 作 出 一 点 D,使 得 CD=CB,连 接 BD.第 二 步 ,在 CB 上 取 一 点 Y’ ,作 Y’ Z’ //CA,
交 BD 于点 Z’ ,并在 AB 上取一点 A’ ,使 Z’ A’ =Y’ Z’ .第 三 步 , 过 点 A 作 AZ//A’ Z’ ,交
BD 于点 Z.第 四 步 , 过 点 Z 作 ZY//AC,交 BC 于点 Y,再过 Y 作 YX//ZA,交 AC 于点 X.
则有 AX=BY=XY.
下面是该结论的部 分 证明: 证明: A Z / / A ' Z\ÐBA' Z ' = ÐBAZ
又 ∠A'BZ'=∠ABZ. \△BA' Z △BAZ
\ Z ' A ' = BZ ' .
ZA BZ
同 理 可 得
Y ' Z ' =
BZ '
. \ Z ' A ' =
Y ' Z ' .
YZ BZ ZA YZ
Z ' A' = Y ' Z ' , \ZA = YZ.
...
任务:
( 1) 请 根 据 上 面 的 操 作 步 骤 及 部 分 证 明 过 程 , 判 断 四 边 形 AXYZ 的形状,并加以证 明 ;
( 2) 请 再 仔 细 阅 读 上 面 的 操.作.步.骤., 在 ( 1)的基础上完成 AX=BY=XY 的证明过程;
( 3)上 述 解 决 问 题 的 过 程 中 ,通 过 作 平 行 线 把 四 边 形 BA’ Z’ Y’ 放大得到四边形 BAZY,从 而 确 定了点 Z, Y 的 位 置 , 这 里 运 用 了 下 面 一 种 图 形 的 变 化 是 .
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似
【考点】 菱形的性 质 与 判 定 ,图形的位似
【解析】
( 1) 答 :四边形 AXYZ 是菱形 .
证明: Z Y / / A C, Y X/ / Z\A, 四边形 AXYZ 是 平 行 四 边 形 .
ZA = YZ , \ AXYZ 是菱形
( 2) 答 :证明: C D= C B, \Ð1 = Ð2
ZY / / AC , \Ð1 = Ð3 .
\Ð2=Ð3 . \YB = YZ .
四边形 AXYZ 是 菱 形 , \AX=XY=YZ.
\AX=BY=XY.
(3)上 述 解 决 问 题 的 过 程 中 ,通 过 作 平 行 线 把 四 边 形 BA’ Z’ Y’ 放大得到四边形 BAZY,从 而 确定了点 Z, Y 的 位 置 , 这 里 运 用 了 下 面 一 种 图 形 的 变 化 是 D ( 或 位 似 ) .
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似
2018 年 1 月 20 日 ,山 西 迎 来 了“ 复 兴 号 ”列 车 ,与“和谐 号 ” 相 比 ,“ 复 兴 号 ” 列 车 时 速 更 快 , 安 全 性 更 好 .已 知 “ 太 原 南 -北 京 西 ” 全程大约 500 千 米 ,“ 复 兴 号 ”G92 次 列 车 平 均 每 小 时 比 某 列“ 和 谐 号 ”列
车多行驶 40 千 米 , 其 行 驶 时 间 是 该 列 “ 和 谐 号 ” 列 车 行 驶 时 间的(两
列车中途停留时间 均 除外) .经 查 询 ,“ 复 兴 号 ” G92 次 列 车 从 太 原 南 到 北 京 西 , 中 途 只 有 石 家 庄 一站,停留 10 分钟 .求乘坐“复兴号” G92 次列车从太原南到 北 京西需要多长时间 .
【解析】
解: 设 乘 坐 “ 复 兴 号 ” G92 次 列 车 从 太 原 南 到 北 京 西 需 要 x 小时,
由题意,得 解得 x =
经检验, x =是原方程的根 .
答 : 乘 坐 “ 复 兴 号 ” G92 次 列 车 从 太 原 南 到 北 京 西 需 要小时 .
祥 云 桥 位 于 省 城 太 原 南 部 , 该 桥 塔 主 体 由 三 根 曲 线 塔 柱
组合而成,全桥共设 13 对直线型斜拉索,造 型新颖,是“三晋 大 地” 的 一 种 象征 .某 数 学 “ 综 合 与 实 践 ” 小 组 的 同 学 把 “ 测 量 斜 拉 索 顶 端 到 桥 面 的 距 离 ”作 为 一 项 课 题 活 动 ,他 们 制 订 了 测 量 方 案 ,并 利 用 课 余 时 间借助该桥斜拉索 完 成了实地测量 .
测量结果如下表 .
项目 | 内容 | ||
课题 | 测 量 斜 拉 索 顶 端 到 桥 面 的 距 离 | ||
测 量 示 意 图 |
| 说 明 : 两 侧 最 长 斜 拉 索 AC, BC 相 交 于 点 C, 分 别 与 桥 面 交 于 A, B 两 点 , 且 点 A, B, C 在 同 一 竖 直 平 面 内 . | |
测量数据 | ∠ A 的 度 数 | ∠ B 的 度 数 | AB 的长度 |
38° | 28° | 234 米 |
... ...
(1) 请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜拉索顶端点 C 到 AB 的距离(参考数据sin 38°» 0.6 ,cos 38°» 0.8 ,
tan 38°» 0.8 , sin 28°» 0.5 , cos 28°» 0.9 , tan 28°» 0.5 );
(2) 该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外,你认为还需要补充哪些项目(写出一个即可).
【解析】
( 1) 解: 过点 C 作 CD ^ AB 于点 D.
设 CD= x 米,在 Rt D ADC 中,
∠ ADC=90°, ∠ A=38°.
AD + BD = AB = 234 . \ x + 2x = 234.
解得 x = 72 .
答:斜拉索顶端点 C 到 AB 的距离为 72 米 .
( 2) 解 : 答 案 不 唯 一 , 还 需 要 补 充 的 项 目 可 为 : 测 量 工 具 , 计 算 过 程 , 人 员 分 工 , 指 导 教 师,活动感受等 .
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